北京
单元测试卷丨学科知识同步丨期中期末卷等
典型应用题—求平均数问题
前面所述，复合应用题中，有些题需要用特殊的思路与方法进行解答，这类题称为典型应用题。现行小学数学课本中编排的典型应用题主要有求平均数问题、归一问题、行程问题等三种。
每种典型应用题都具有特殊的结构与特定的数量关系，通过具体的例题，在分析、比较、归纳的基础上，都可以找出特定的解答规律，这些解答规律，还可以用某种形式固定下来。因此，解答典型应用题要注意分析，理解某种题特定解法的含义，防止死记解题规律，乱用解题公式．
（1）求平均数问题
已知几个不同的数，在总和不变的情况下，经过移多补少，使它们成为相等的数，这个相等的数就称为它们的平均数。在日常生活和生产中，经常会遇到求平均数的问题。
解答求平均数问题，一般要先求出总和与总份数，然后用总和除以总份数，得出每一份是多少。即平均数是多少。
总和÷总份数=平均数。
由于题中的总和与总份数是随着不同的具体问题而变化的，解题时要通过分析数量关系，正确地找出它们，这是解题的关键，也是容易发生错误的地方。
例 1 一个小组8位同学的体重分别是38千克、39千克、38.5千克、36.5千克、36千克、37千克、35.5千克、39.5千克。这个小组同学的平均体重是多少千克？
[解]
（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8
=300÷8
=37.5（千克）。
答：这个小组同学的平均体重是37.5千克。
[常见错误]
（1）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5）÷8
=260.5÷8
≈32.6（千克）。
答：这个小组同学的平均体重是32.6千克。
（2）（38+39+38.5+35.6+36+37+35.5+39.5）÷8
=299.1÷8
≈37.51（千克）。
答：这个小组同学的平均体重是37.51千克。
（3）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8
=400÷8
=50（千克）。
答：这个小组同学的平均体重是50千克。
[分析]
解答求平均数问题，求总份数容易发生错误。错解（1）是漏掉了较后一个同学的体重；错解（2）是将第四个同学的体重36.5千克错写成35.6千克；错解（3）是求和时将总重量300千克错成了400千克。防止发生类似错误，一是求总和时要与题中的数据校对，确定没有错误后再开始；二是算完后要进行验算。做到以上两点，就可以减少错误。
例 2 亮利公司九、十月份共生产洗衣粉800吨，十一月份生产420吨，十二月份生产440吨。求四个月的月平均产量。
[解]（800+420+440）÷4
=1660÷4
=415（吨）。
答：四个月的月平均产量是415吨。
[常见错误]
（800×2+420+440）÷4
=（1600+420+440）÷4
=2460÷4
=615（吨）。
答：四个月的月平均产量是615吨。
[分析]
这道题的解题思路是正确的，即先求出总和，再求出月平均产量，但是，求总和时产生了错误，把“九、十月份共生产洗衣粉800吨”，理解成“九、十月份平均每月生产洗衣粉800吨”，由于审题不严密而产生了错误。
例 3 一个农场种两块玉米试验田。先进块2.5公顷，平均每公顷产玉米6750千克；第二块1.5公顷，共产玉米11250千克，这两块地平均每公顷产玉米多少千克？（得数保留整千克）
[解]（6750×2.5+11250）÷（2.5+1.5）
=（16875+11250）÷4
=28125÷4
≈7031（千克）。
答：平均每公顷产玉米7031千克。
[常见错误]
（1）（6750+11250）÷（2.5+1.5）
=18000÷4
=4500（千克）。
答：平均每公顷产玉米4500千克。
（2）（6750+11250）÷2
=18000÷2
=9000（千克）。
答：平均每公顷产玉米9000千克。
（3）（6750×2.5+11250）÷2
=（16875+11250）÷2
=28125÷2
≈14063（千克）。
答：平均每公顷产玉米14063千克。
（4）（6750+11250÷1.5）÷2
=（6750+7500）÷2
=14250÷2
=7125（千克）。
答：平均每公顷产玉米7125千克。
[分析]
这是一道求平均数的应用题，解答这类问题的关键是先求出总和与总份数，再求出平均数。然而，孩子经常把总和与总份数弄错而产生错误的解法，如先进种错误是把先进块试验田平均每公顷产6750千克错看成了先进块田的收获量；第二种错误解法是把总和及总份数都理解错了，第三种错误解法虽然求总和是正确的，但对总份数的理解是错误的，总份数应该是总公顷数，而这里求出的实际上是“平均每块地产玉米多少千克”；第四种错误解法求出的实际是“两块地平均每公顷产量的平均值”。
要防止产生上述错误，要注意透彻地理解求平均数的意义及它的求法。为了建立总和与总份数的概念，初学求平均数时，可分三步解题，即先求出总和，再求出总份数，较后求出平均数。
当解题熟练以后，可以取消分步解答而用综合算式解答。
例 4 山上某镇离山下县城有60千米路程，一人骑车从某镇出发去县城，每小时行20千米；从县城返回某镇时，由于是上山路，每小时行15千米。问他往返平均每小时约行多少千米？
[解]60×2÷（60÷20+60÷15）
=120÷（3+4）=120÷7
≈17.14（千米）。
答：他往返平均每小时约行17.14千米。
[常见错误]
（20+15）÷2
=35÷2
=17.5（千米）。
答：他往返平均每小时约行17.5千米。
例 5 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶2.5小时，每小时行驶42千米；在上坡路上行驶1.5小时，每小时行驶30千米；在下坡路上行驶2小时，每小时行驶45千米，正好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均速度。
[解]（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）
=（105+45+90）÷6
=240÷6
=40（千米）。
答：这辆汽车的平均速度是每小时40千米。
[常见错误]
（42+30+45）÷3
=117÷3
=39（千米）。
答：这辆汽车的平均速度是每小时39千米。
[分析]
上面例4与例5的错解具有一定的代表性。例4的错解中求出的是骑车人往、返速度的平均值；例5的错解中求出的是汽车在平地、上坡、下坡三种速度的平均值。产生这类错误的原因是对“平均速度”与“速度的平均值”这两个概念混淆，错误地认为速度的平均值就是平均速度。要防止出错，首先要弄清求一段路程的平均速度先要知道这段路程的总距离及行完这段路程所用的总时间，然后根据“距离÷时间=速度”的关系求出平均速度。
例 6 一艘轮船往返于甲乙两个码头，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行20千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？
[解]（1+1）÷（1÷25+1÷20）=2÷（0.04+0.05）
=2÷0.09
≈22.22（千米）。
答：这艘轮船往、返的平均速度是每小时22.22千米。
[常见错误]
（25+20）÷2
=45÷2
=22.5（千米）。
答：这艘轮船往、返的平均速度是每小时22.5千米。
[分析]
例 6 由于已知条件中只含有顺水、逆水航行速度（即往、返速度）两个数据，求平均速度而又未给出航行的路程，这就使得没有弄清平均速度的孩子和不会分析题目数量关系的孩子都把“速度的平均值”当作“平均速度”来求。
我们已经知道，要求平均速度只有先求出航行的总路程与总时间。从表面上看，题目似乎缺少甲、乙码头距离的已知条件，因为若知道这个距离，则往、返需要的时间可求，航行的总路程也可求。实际上甲、乙码头的距离不知道完全可以求出平均速度。我们可以假设甲、乙码头的距离为10千米，往、返的路程显然为（10+10）千米，总时间为10÷20+10÷25，所以平均速度为：
我们把上面除式改写成分数的形式，显然分子、分母有公约数10可以约去；如果我们假设甲、乙码头距离为15千米、20千米、100千米，按上面分析的理由，由除式改写的分数，分子、分母将约去15、20、100的公约数。由此可知往、返的平均速度的大小与甲、乙码头的距离无关，也就是说不必知道甲、乙码头的距离的具体数值同样可以求出平均速度。因此我们一般设甲、乙码头的距离为1，这个1并不一定是表示1千米，而是表示甲、乙码头距离的总量，正像我们在工程问题中设工程总量为1一样，这样就得到了前面正确解答中的算式。
典型应用题—归一问题
复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。
由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。
例 1 小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？
[解]600÷3×10
=200×10
=2000（米）。
答：小红家到学校有2000米。
[常见错误]
600÷10×3
=60×3
=180（米）。
答：小红家到学校有180米。
[分析]
解答上题先要求出1分钟行的路程，再求出10分钟行的路程。错解中把3分钟行600米，看成了10分钟行600米，因此，先进步求单位量的数值就错了，后面再去乘以3是毫无道理的。防止出错的根本办法是解题时要找准对应的数量。如上例，3分钟行的路程对应的是600米，10分钟行的路程对应的小红家到学校的路程。
例 2 某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？
[解]96÷6×（6+4）
=16×10
=160（吨）。
答：每天可运水泥160吨。
[常见错误]
96÷6×4
=16×4
=64（吨）。
答：每天可运水泥64吨。
[分析]
解答归一问题先求出单位量的数值，但对题中要求的问题应加以分析。上题中“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即 10辆汽车的运输量。归一问题常常发生例2的错解，主要原因是没有认真分析与理解题意，把要求的问题所对应的数量搞错，从而出现错误。
例 3 某县化肥厂计划春节前40天生产化肥3400吨，实际头8天生产化肥720吨。照这样，春节前可超产多少吨？
[解]720÷8×40-3400
=90×40-3400
=3600-3400
=200（吨）。
答：春节前可超产200吨。
[常见错误]
（1）3400÷40×（40-8）+720
=85×32+720
=2720+720
=3440（吨）。
答：春节前可超产3440吨。
（2）720÷8×40
=90×40
=3600（吨）。
答：春节前可超产3600吨。
（3）720÷8-3400÷40
=90-85
=5（吨）。
答：春节前可超产5吨。
[分析]
孩子对归一问题的基本应用题一般都能解答出来，但是，对归一问题的扩展题解答时却常常出错。例3就是这种扩展题，出现的先进个错解是对题意不理解，仅根据题中已知条件的表面联系，胡乱凑在一起，进行解答。错解（2）与错解（3）都是答非所问，没有按照题目的要求，进行解答。错解（2）求出的是春节前实际生产的吨数，错解（3）求出的是实际每天比原计划每天多生产的吨数。为了防止归一问题的扩展题解答出错，关键还是要掌握归一问题的基本解法。如例3先求出每天实际生产的吨数，再求出春节前40天实际生产的总吨数，较后求出超产的吨数。按照这个思路，解题就不会出现错误。归一问题的扩展题往往有多种解法，如例3可用倍比法先求出实际产量，再减去原计划产量就得超产量。列式为：
720×（40÷8）-3400。
也可以先求出每天的超产量，然后再求出40天的超产量。解答的算式为：
（720÷8-3400÷40）×40。
例 4 洗衣机厂计划25天生产洗衣机4000台，实际每天比计划多制造40台。照这样，完成原定生产任务要少用多少天？
[解]25-4000÷（4000÷25+40）
=25-4000÷（160+40）
=25-4000÷200
=25-20
=5（天）。
答：完成原定生产任务要少用5天。
[常见错误]
4000÷（4000÷25+40）
=4000÷（160+40）
=4000÷200
=20（天）。
答：完成原定任务要少用20天。
[分析]
例 4 是一道较复杂的归一问题的应用题，错解算出的是完成原定生产任务所需的时间，而忽略了题中要求的是少用多少天。解复杂的归一问题的应用题，也和解其他类型的应用题一样，可从题目本身的问题出发，逆推分析，从而求得问题解答的算式。像这道题要求少用多少天，必须知道计划天数（已知为25天）与实际生产天数；要求实际生产天数必须知道实际生产量（已知为4000台）与每天实际生产台数；要求每天实际生产台数必须知道原计划每天生产台数（算式为4000÷25）与实际比计划多生产的台数（已知为40台）；这样逐步导出的解答算式为：25-4000÷（4000÷25+40）。
（3）行程问题
反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程问题的内容相当广泛，目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相遇问题。
相遇问题是研究两个运动的物体，从两个不同的地方，沿同一条路线同时（或者不同时）出发，作相向运动。因此，它有三种基本形式：
先进是已知甲、乙的速度和相遇的时间，求距离；
第二是已知甲、乙的速度和距离，求相遇的时间；
第三是已知距离，相遇时间和甲（或者乙）速度，求乙（或者甲）速度。
例 1 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
[解]46×3.5+48×3.5
=161+168
=329（千米）。
或（46+48）×3.5
=94×3.5
=329（千米）。
答：甲、乙两个城市的路程有329千米。
[常见错误]
46×3.5+48
=161+48
=209（千米）。
答：甲、乙两个城市的路程有209千米。
[分析]
这是一道相遇问题的基本题，错解中由于审题不严密，误认为只有客车行了3.5小时，货车行了48千米，两车就相遇了，因而产生了错误。如果首先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和，然后分别求各自的速度与行驶的时间，就不会出现错误了。
例 2 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
[解]255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。
45×3=135（千米）。
40×3=120（千米）。
答：相遇时甲车行了135千米，乙车行了120千米。
[常见错误]
（1）255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。45×3=135（千米）。
答：相遇时各行了135千米。
（2）255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。
40×3=120（千米）。
45×3=135（千米）。
答：相遇时甲车行了120千米，乙车行了135千米。
[分析]
解题不完整，答非所问，这是应用题解答经常出现的一种错误，特别是对于粗心大意的孩子来说，更是如此。防止粗心大意的办法是要养成检验的良好习惯。
例 3 两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
[解][3300-（82+83）×15]÷（82+83）
=[3300-165×15]÷165
=[3300-2475]÷165
=825÷165=5（分钟）。
答：还要5分钟两人可以相遇。
[常见错误]
（1）（82+83）×15÷（82+83）
=165×15÷165
=2475÷165
=15（分钟）。
答：还要15分钟两人可以相遇。
（2）[3300-（82+85）×15]÷82
=[3300-165×15]÷82
=[3300-2475]÷82
=825÷82
≈10.1（分钟）。
答：还要行10.1分钟两人可以相遇。
[分析]
这是一道较复杂的相遇问题，错解（1）没有求出还剩下的路程，错解（2）将剩下的路程由甲一人行走，所以两种解法都错了。防止错误的主要办法是需认真审题，理解题中已经行了多少米，还剩下多少米，剩下的路程由甲、乙两人相对行走，还要多少分钟等等。这样，用剩下的路程除以甲、乙两人的速度和，就得出还要多少分钟两人相遇。
例 4 甲、乙两港的航程有480千米，上午10点一艘货船从甲港开往乙港，下午2点一艘客船从乙港开往甲港。客船开出12小时与货船相遇。已知货船每小时行15千米，客船每小时行多少千米？
[解]（480-15×4）÷12-15
=（480-60）÷12-15
=420÷12-15
=35-15
=20（千米）。
答：客船每小时行20千米。
[常见错误]
（1）480÷12-15
=40-15=25（千米）。
答：客船每小时行25千米。
（2）（480-15×4）÷12
=（480-60）÷12
=420÷12
=35（千米）。
答：客船每小时行35千米。
[分析]
这道题中的数量关系较为复杂，解题时稍不留意就出错。错解（1）是套用公式，没有注意到“货船先行了4小时客船才开出”这个条件。错解（2）求出的是客、货两船的速度和。解答较复杂的应用题一定要养成认真审题的习惯，行程问题给出线段图将有助于理解题意与选择解法。
典型应用题—行程问题
反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程问题的内容相当广泛，目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相遇问题。
相遇问题是研究两个运动的物体，从两个不同的地方，沿同一条路线同时（或者不同时）出发，作相向运动。因此，它有三种基本形式：
先进是已知甲、乙的速度和相遇的时间，求距离；
第二是已知甲、乙的速度和距离，求相遇的时间；
第三是已知距离，相遇时间和甲（或者乙）速度，求乙（或者甲）速度。
例 1 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
[解]46×3.5+48×3.5
=161+168
=329（千米）。
或（46+48）×3.5
=94×3.5
=329（千米）。
答：甲、乙两个城市的路程有329千米。
[常见错误]
46×3.5+48
=161+48
=209（千米）。
答：甲、乙两个城市的路程有209千米。
[分析]
这是一道相遇问题的基本题，错解中由于审题不严密，误认为只有客车行了3.5小时，货车行了48千米，两车就相遇了，因而产生了错误。如果首先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和，然后分别求各自的速度与行驶的时间，就不会出现错误了。
例 2 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
[解]255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。
45×3=135（千米）。
40×3=120（千米）。
答：相遇时甲车行了135千米，乙车行了120千米。
[常见错误]
（1）255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。45×3=135（千米）。
答：相遇时各行了135千米。
（2）255÷（45+40）
=255÷85
=3（小时）。
40×3=120（千米）。
45×3=135（千米）。
答：相遇时甲车行了120千米，乙车行了135千米。
[分析]
解题不完整，答非所问，这是应用题解答经常出现的一种错误，特别是对于粗心大意的孩子来说，更是如此。防止粗心大意的办法是要养成检验的良好习惯。
例 3 两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
[解][3300-（82+83）×15]÷（82+83）
=[3300-165×15]÷165
=[3300-2475]÷165
=825÷165=5（分钟）。
答：还要5分钟两人可以相遇。
[常见错误]
（1）（82+83）×15÷（82+83）
=165×15÷165
=2475÷165
=15（分钟）。
答：还要15分钟两人可以相遇。
（2）[3300-（82+85）×15]÷82
=[3300-165×15]÷82
=[3300-2475]÷82
=825÷82
≈10.1（分钟）。
答：还要行10.1分钟两人可以相遇。
[分析]
这是一道较复杂的相遇问题，错解（1）没有求出还剩下的路程，错解（2）将剩下的路程由甲一人行走，所以两种解法都错了。防止错误的主要办法是需认真审题，理解题中已经行了多少米，还剩下多少米，剩下的路程由甲、乙两人相对行走，还要多少分钟等等。这样，用剩下的路程除以甲、乙两人的速度和，就得出还要多少分钟两人相遇。
例 4 甲、乙两港的航程有480千米，上午10点一艘货船从甲港开往乙港，下午2点一艘客船从乙港开往甲港。客船开出12小时与货船相遇。已知货船每小时行15千米，客船每小时行多少千米？
[解]（480-15×4）÷12-15
=（480-60）÷12-15
=420÷12-15
=35-15
=20（千米）。
答：客船每小时行20千米。
[常见错误]
（1）480÷12-15
=40-15=25（千米）。
答：客船每小时行25千米。
（2）（480-15×4）÷12
=（480-60）÷12
=420÷12
=35（千米）。
答：客船每小时行35千米。
[分析]
这道题中的数量关系较为复杂，解题时稍不留意就出错。错解（1）是套用公式，没有注意到“货船先行了4小时客船才开出”这个条件。错解（2）求出的是客、货两船的速度和。解答较复杂的应用题一定要养成认真审题的习惯，行程问题给出线段图将有助于理解题意与选择解法。
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