小学数学解题常见错误分析—几何初步知识

 

　　几何初步知识

　　几何初步知识是小学数学学习的重要内容，由于小孩子掌握的知识有限、年龄小和空间想象能力差，要理解和掌握有关的概念和公式，都存在着一定的困难，虽说小学教材所涉及的几何知识都是些较基础的，图形又比较直观，但它的内容相当丰富，且贯穿在小学的整个学习阶段，这对发展孩子的空间观念具有十分重要的意义。几何形体的变化多种多样，又有周长、面积、体积、容积等方面的，因此不仅概念易于混淆，而且公式难于理解和记忆。致使在有关几何知识题目的解答中，经常出现一些错误，探讨这些错误产生的原因及预防的办法则是本章所要研究的内容。

 

　　1．直线和线段

　　直线和线段是几何中较基本的概念。直线我们是不定义的，主要是通过日常生活中常见的事物作了一些描述性的说明。由于很多孩子并没有真正理解和掌握，运用起来常常出错。

　　例 1 判断：直线比射线要长些。（  ）

　　[解]×

　　[常见错误]

　　√

　　[分析]

　　教科书对直线与射线是这样描述的：直线没有端点，射线有一个端点。孩子从这点出发，总认为直线比射线长些。其实，直线可向两端无限延伸，它是不能度量出长短的；射线虽然只能向一端无限延伸，但它也是不能度量出长短的。两者都不可能度量出长短，自然就不能进行比较。因此说，“直线比射线长些”这句话是错误的。孩子只要明白了以上的道理，也就可以防止类似的错误发生。

　　例 2 在一条直线上有A、B、C三个点（如图），那么这条直线上有（    ）条线段，（    ）条射线。

　　[解]3条线段，6条射线。

　　[常见错误]

　　2条线段，3条射线。

　　[分析]

　　这是一道富有思考性的题，首先要明确线段和射线的定义；其次要善于观察。除了线段AB和BC外，还有线段AC，因此应该是3条线段而不是2条线段。从每一个点向两方都引出两条射线，三个点共可引出6条射线，而不是3条射线。

　　直线和线段看来很简单，但要理解却不容易，如对“直线是无限长的”理解，必须有一定的空间想象力，因为我们所能见到的和所能画出的都只是直线上的一段。这些概念建立不好，将会影响后面许多知识的学习。

 

 

　　2．平行和垂直

　　平行与垂直发生错误的原因主要是对平行定义中“同一平面内”难以理解。因此，答题时把“在同一平面内”忽略，从而产生各种错误。

　　例 1 判断：不相交的两条直线叫做平行线。（    ）

　　[解]×

　　[常见错误]

　　√

　　[分析]

　　两条直线如果不在同一平面里，就有既不相交又不平行的现象存在。因此，这道题缺少了“在同一平面内”这个非常重要的条件，应该判错。防止出错的办法是可以在两张纸（代表两个平面）上，各画上一条直线，然后将这两张纸（两个平面）摆成不同的位置，观察两条直线相交不相交。这样，就可以加深理解“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”的含义。

　　例 2 判断：两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线互相垂直。

　　（    ）

　　[解]√

　　[常见错误]

　　×

　　[分析]

　　学习两条直线互相垂直的概念时，孩子认为要“四个角都是直角”这个条件，两条直线才能互相垂直。题中两条直线相交，已经有一个是直角，其他三个角一定是直角。判断时没有进一步分析，因此产生了错误。

 

 

　　3．角

　　角是由一点引出两条射线所组成的图形，很多孩子对于角的认识，往往不从定义上来理解，习惯从角的边的长短来确定角的大小。对于直角、锐角、钝角、平角、周角在认识上也常常出错，例如对钝角的认识，有时只强调大于90°，有时又只强调小于180°，从而出现错误。

　　比较下面两个角的大小。

　　[解] 第（1）个角比第（2）个角小。

　　[常见错误]

　　第（1）个角比第（2）个角大。

　　[分析]

　　在比较角的大小时，有的孩子往往用比较物体大小的方法，因而得出错误的结论。这种错误是经常出现的，例如有的孩子认为黑板面上的直角比三角板面上的直角大；在地面上画出的30°的角比在纸上画出的30°的角大等等。出现这类错误的主要原因是对角的定义没有理解，或是度量角的大小的标准没有掌握。角的两边既然是射线就可以向另一端无限延长。因此，角的大小同角的边的长短没有关系，而是看两条边张开的程度。理解了这一点，自然就不会犯类似的错误了。

　　例 2 一个直角与一个平角的和比一个周角小（    ）度。

　　[解]一个周角是360°，一个平角是180°，一个直角是90°。所以，一个直角与一个平角的和比一个周角小90°。

　　[常见错误]

　　270°。

　　[分析]

　　出现这种错误主要是将题意理解错了，误认为题中是求一个直角与一个

　　平角的和，从而得出270°的结论。

　　例 3 判断：小于180°的角叫做钝角。（    ）

　　[解]×

　　[常见错误]

　　√

　　[分析]

　　钝角是大于90°而小于180°的角。如果只有小于180°这个条件，就不能说是钝角了。例如60°，80°，89°的角，都是小于180°的角，它们都不是钝角。

 

 

　　4．长方形和正方形

　　长方形和正方形周长和面积的发生错误的原因是多方面的，有的是因为对长方形和正方形的特征认识不清；有的是因为对周长与面积概念的混淆；有的是因为周长或面积的公式没有掌握；有的是对周长或面积的单位使用上出错。这些问题都是不可忽视的。

　　例1有两个形状和大小都一样的长方形，长都是12厘米，宽都是6厘米。把它们拼成一个正方形，这个正方形的周长是多少厘米？

　　[解]

　　12×4=48（厘米）

　　答：这个正方形的周长是48厘米。

　　[常见错误]

　　（12+6）×2×2

　　=18×2×2

　　=36×2

　　=72（厘米）。

　　[分析]

　　两个相同的长方形拼成正方形后，求正方形的周长，而不是求两个长方形周长的和，解题时由于对这一点没有正确理解，因此出错。

　　例 2 有一个周长是32厘米的长方形，它是由3个大小完全相等的正方形拼成的，其中一个小正方形的面积是（    ）。

　　[解]由3个大小完全相等的正方形拼成一个长方形，这个长方形的长与宽的比应是3∶1。这样，已知长方形的周长及长与宽的比，可以求出长与宽；进而求出长方形的面积及正方形的面积。

　　[分析]

　　错解中虽说解题思路是对的，先求出长方形的长与宽，再求出长方形的积，较后求出正方形的面积，但在求长方形的长与宽时，忽视了长方形的长含有两个长与两个宽，因而产生了错误。如下图：AB的长是BC长的3，而 AB加BC的长只有32厘米的一半，所以，AB是12厘米，BC是4厘米。

　　例 3 小明把2.8米的铁丝，围成一个长方形，长方形长和宽的比是4∶3，这个长方形围成的面积是多少平方米？

　　[解] 此题与例2一样，先求出长方形的长与宽，再求出长方形的面积。

　　从图中可以看出，AB∶BC=4∶3，AB加BC的长度只有这个长方形周长的一半，也就是2.8米的一半，即1.4米。而错解中犯了与例2同样的错误，导致答案错误。

　　例 4 判断：边长为4厘米的正方形，它的周长与面积相等。（    ）

　　[解]×

　　[常见错误]

　　√

　　[分析]

　　边长是4厘米的正方形，它的周长与面积的结果，数值虽说都是16，但不能说它们是相等的，因为周长是用长度单位，结果是16厘米，面积是用面积单位，结果是16平方厘米。两者是无法比较的，正如5只猫与5公顷土地无法比较一样。