最大公约数和最小公倍数的应用

 

1、兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过多少天?　 　

分析：

(法一)：我们可以猜想，也就是进行推的过程。兄弟三人在一天同时出发，也就是同时在一天回家。下一次的情况：大哥6天后先进次回家，12天后第二次回家，18天后第三次回家，24天后第四次回家，也就是大哥24天后第四次回家;二哥8天后先进次回家，16天后第二次回家，24天后第三次回家，也就是二哥24天后第三次回家;小弟12天后先进次回家，24天后第二次回家，也就是小弟24后第二次回家;无论大哥、二哥和小弟是第几次回家，24天后他们都会再一次相聚。此方法不适合数据较大的例子，并且作为应用题过程阐述上不够明确，实在是有点不妥当。

(法二)：兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面经过的天数，应该是6的倍数，也是8的倍数，同时还是12的倍数，换句话说也就是：下次见面经过的天数是6、8和12的公倍数，而公倍数中只需求出较小公倍数(即：先进次相聚后的下一次相聚) 6、8和12的较小公倍数是24 兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过24天。注：问题部分“兄弟三人同时在11日回家”中的“11日”，实际与下次见面要经过的时间天数无关，它就是一个叙述方式，一个为了表达完整的叙述方式。　 　

2、一张长105厘米、宽75厘米的长方形铁皮，要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，这张长方形铁皮较少可以分成多少个正方形铁皮?

分析：

要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，也就是正方形的边长既是原来的长方形长的约数，也是原来的长方形宽的约数，即：正方形的边长是原来的长方形长和宽的公约数;又因为是求这张长方形铁皮较少可以分成多少个正方形铁皮，正方形的个数较少，也就是正方形的边长越大，回到刚才分析的正方形的边长是原来的长方形长和宽的公约数，而现在确切的是找边长较大正方形，就是找原来的长方形长和宽的较大公约数作为正方形的边长。 105和75的较大公约数是15 即：正方形的边长：15厘米正方形的个数：(105×75)÷(15×15)=35(个) 　 　也可以利用分解质因数中短除式中的除数和商来求正方形的个数， 105和75的除数都是15，即105和75的较大公约数是15，105的商是7(表示105按15一段来分可以分7段);75的商是5(表示75按15一段来分可以分5段)。长分7段，宽分5段。正方形的个数是7×5=35(个)　 　

3、有一筐苹果，不论分给8个人，还是分给10个人，都剩3个。这筐苹果至少有多少个?

分析：

苹果总数减去3，得到的新总数，不论分给8个人，还是分给10个人，都不剩，刚好分完。也就是得到的苹果新总数既是8的倍数，又是10的倍数，即8和10的公倍数，而要求这筐苹果至少有多少个。因此只需要求8和10的较小公倍数。 8和10的较小公倍数是40 即苹果新总数是40，再加上从苹果总数里减去的3，便得到苹果总数：也就是40+3=43(个)注：有时间不容易理解是借助算式来帮助，如上题中有一筐苹果，不论分给8个人，还是分给10个人，都剩3个。可以表示为：?÷8=商……3 ?÷10=商……3 ?-3=A A能被8整除，A能被10整除，换一种叙述方式：A是8的倍数，A是10的倍数。即A是8和10的公倍数。再接着往下分析即可。