古代的数学迷宫——图形数

         古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源”的那样毫无道理的话。这样，就不得不说，认为宇宙是由点构成的所谓原子论，也可以归结到来源于“点=数的集合”的古希腊思想。

　　若把数当作是点的集合，那么，以多少个点表示数的问题，较终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如，数3可以用3个点来表示，也可用等分成三个单位长度来表示。如图1－1。

 

 

　　然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头，如图1－2那样，从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形，他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时，毕达哥拉斯却说：“好啦，你说到的4，我看实际是10。”毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点，2表示线，3表示面（三角形），4表示体（三角锥），总括起来这个美丽的正三角形数10，就可以表现宇宙。

 

 

　　像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的，这些数都可以叫做三角数（如图1－3）。设以Tn来表示第n个三角数，则Tn就等于1、2、3…n个自然数的和，把它列成数学式就是：

　　Tn=1＋2＋3＋…＋n

 

 

　　能排列出正方形的数叫做四角数（如图1－4），四角数构成了平方数。若以Sn表示第n个四角数，则数学式就是：

　　Sn=n²

 

 

　　但是我们从图1-5可以看出，四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：

　　Sn=1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n²

 

 

　　与四角数相对应，若从2开始，只把偶数加起来就变成所谓的长方数（如图1－6），长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数，它的数学式就是：

　　Rn=2＋4＋…＋2n=n（n＋1）