等差数列求和公式推导

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　　等差数列求和公式推导！等差数列的高中数学的重难点，不少同学们表示等差数列很难。等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列！爱智康小编今天就为大家等差数列求和公式推导！希望可以帮助大家。

　　等差数列求和公式推导

　　方法是倒序相加

　　Sn=1+2+3+……+(n-1)+n

　　Sn=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1

　　两式相加

　　2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+……+(n-1+2)+(n+1)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1)

　　一共n项(n+1)

　　2Sn=n(n+1)

　　Sn=n(n+1)/2

　　等差中项：

　　等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为A(r)。当A(m),A(r),A(n)成等差数列时，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)为A(m)、A(n)的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r，且任意两项a(m)、a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

　　等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的较大尺寸与较小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n。则a(m+n)=0。

　　其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

　　等差数列的判定：

　　(1)a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

　　(2)2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

　　(3)a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

　　(4)S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

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