排列组合公式

　　排列组合公式！排列组合是组合学较基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面为大家分享排列组合公式!希望能帮到大家！

 

公式：

排列组合公式(2张)

　　此外规定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6!=6x5x4x3x2x1 [1] 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。公式：

;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)其他排列与组合公式 从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。

 

　　符号

常见的一道题目C-Combination 组合数 [2] A-Arrangement 排列数(在旧教材为P-Permutation)N-Number 元素的总个数M- 参与选择的元素个数!- Factorial阶乘

 

　　基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在

 

　　组合恒等式(2张)

　　先进类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。⒉先进类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。⒊分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。⑵乘法原理和分步计数法⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做先进步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。

　　二项式定理

. [3] 通项公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i二项式系数：C(in)杨辉三角：右图。两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。系数性质：⑴和首末两端等距离的系数相等;⑵当二项式指数n是奇数时，中间两项较大且相等;

⑶当二项式指数n是偶数时，中间一项较大;⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1);⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n

 

　　组合数的奇偶奇偶定义：对组合数C(n,k)(n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数;否则为奇数。下面是判定方法：结论：对于C(n,k)，若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。证明：对于C(n,k)，若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

证明：利用数学归纳法：由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);对应于杨辉三角：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1………………可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，C(n,k)满足结论。

1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：则有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) == k-1;由于k和k-1的较后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的较后一位必然是1。现假设n&k == k。则同样因为n-1和n的较后一位不同推出k的较后一位是1。因为n-1的较后一位是1，则n的较后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。所以得n&k != k。

2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：则有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) != k-1;现假设n&k == k.则对于k较后一位为1的情况：此时n较后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。而对于k较后一位为0的情况：则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。相应的，n对应的部分为：1{*}*; *代表0或1。而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01，所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。所以得n&k != k。由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：则有：(n-1)&k == k;(n-1)&(k-1) != k-1;显然，k的较后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。所以k的末尾必有一部分形如：10;相应的，n-1的对应部分为：1{*}*;相应的，k-1的对应部分为：01;则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.所以n的对应部分也就为 ：1{*}*; (不会因为进位变1为0)所以 n&k = k。

4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：则有：(n-1)&k != k;(n-1)&(k-1) == k-1;分两种情况：当k-1的较后一位为0时：则k-1的末尾必有一部分形如：10;相应的，k的对应部分为 : 11;相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1，则(n-1)&k == k)相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;所以n&k = k。当k-1的较后一位为1时：则k-1的末尾必有一部分形如：01; (前面的0可以是附加上去的)相应的，k的对应部分为 : 10;相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)相应的，n的对应部分为 : 10;所以n&k = k。由3)，4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。综上，结论得证。

 

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