向量公式

　　向量公式！在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。下面为大家分享向量公式!希望能帮到大家！

 

 

设a=(x,y),b=(x',y').

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ>0时,λa与a同方向;

当λ<0时,λa与a反方向;

当λ=0时,λa=0,方向任意.

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律(先进分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

3、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的数量积的运算率

a·b=b·a(交换率);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a∥b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　　

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