积分公式

　　积分公式！积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。下面为大家分享积分公式!希望能帮到大家！

 

 

积分公式

 

 

 

 

公式描述：式一为定积分公式，式二为不定积分公式。其中f(x)为被积函数，F(x)为f(x)的一个原函数，积分区间为[a,b]。

公式种类

不定积分设是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 [1] 注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2

 

定积分积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。 [2] 直观地说，对于一个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分记为：

若f(x)在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。

 

其他积分的种类还有如下几类： [3]

黎曼积分

达布积分

勒贝格积分

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

数值积分

公式汇总

不定积分不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。 [2] 含a+bx的积分含有a+bx的积分公式主要有以下几类： [4]

含√(a+bx)的积分含有√(a+bx)的积分公式主要包含有以下几类： [5]

含有x^2±α^2的积分

含有ax^2+b(a>0)的积分

含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分被积函数中含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分有 [2] ：

含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分被积函数中含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分有： [4] 对于a2>x2有：

含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分被积函数中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分有 [2] [4] [5]

 

 

含有三角函数的积分被积函数中含有三角函数的积分公式有： [5]

含有反三角函数的积分被积函数当中含有反三角函数的积分公式有 [2] ：

含有指数函数的积分被积函数当中包含有指数函数的积分公式 [4] ：

含有对数函数的积分被积函数当中包含有对数函数的积分公式 [5] ：

含有双曲函数的积分被积函数当中包含有双曲函数的积分公式有 [2] ：

 

定积分定积分公式有以下几种 [1] [4]

 

积分性质

通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域

的在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有：线性性、保号性、极大值极小值、少有连续性、少有值积分等。 [1]

 

线性性积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

 

保号性如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个上的可积函数f和g相比，f(几乎)总是小于等于g，那么f的(勒贝格)积分也小于等于g的(勒贝格)积分。 [6] [3] 如果黎曼可积的非负函数f在上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果中元素A的测度μ (A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。 [6] [3] 函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于(大于等于)可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于(大于等于)g。 [3]

　　

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