泰勒公式

　　泰勒公式！数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。下面为大家分享泰勒公式!希望能帮到大家！

 

 

泰勒公式

 

 

公式描述：泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

　　验证推导

公式推导我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

于是：

其中误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似中往往不够准确。于是我们需要一个能够足够准确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足 ：

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：

，所以

;

，所以

;

，所以

;

，所以

;至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数

的泰勒展开式。接下来就要求误差的具体表达式了。设

，令

得到：

进而：

根据柯西中值定理：

其中θ1在x和x0之间;继续使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之间;连续使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之间;同时：

而：

进而：

综上可得：

一般来说展开函数时都是为了的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 [1]

 

麦克劳林展开函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中

表示f(x)的n阶导数。当

，其中δ在0与x之间时，公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式;当

时公式称为带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式。 [1]

近似表达正弦函数

 

θ的性质编辑n阶泰勒公式中的余项写成如下形式的拉格朗日余项：

那么其中的θ的有一个重要性质：当

在

点连续，且

，则

。证明 因为(1)

，

。(2)

，

。(3)

，

。[(1)-(2)](n+1)!/[(△x)^(n+1)]得：(4)

。(3)/(4)得

由于

在

点连续，且

，所以

。 [1]

 

公式应用

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

泰勒级数可以用来近似函数的值，并估计误差。

证明不等式。

求待定式的极限。 [1]

实例例1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。解：根据导数表得：

显然y=sinx在x=0处具有任意阶导数，并且

。根据麦克劳林公式：

类似地，可以展开y=cosx。例2、当

时，证明

。证明 ：函数

在

点处的二阶泰勒公式为

在

时，显然成立

，即

。例3、求极限

。解： 利用(1)

;(2)

;(3)

;(4)

;可得

。例4、近似值

，并估计误差。解：对指数函数

运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

当x=1时：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。误差为

例5、欧拉公式：

(其中

，即一个虚数单位)证明：由于在实数范围以内，

将该式子扩展到复数系内以定义指数函数，得到

特别地，当上式z=ib时，有

把上面的b换成x，就得到了欧拉公式。由欧拉公式，对任意一个复数z=a+ib，有

即复数z的指数函数依然是一个复数，这个复数的模r=ea，幅角θ=b。若b=0，则ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea，与实变函数f(x)=ex在x=a时的函数值相同。

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