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数学平面向量知识点回顾

2017-06-15 06:35:30 来源:佚名

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  数学平面向量知识点-基本知识回顾:

  1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向.

  2.向量的表示方法:

  ①用有向线段表示-----(几何表示法);

  ②用字母、等表示(字母表示法);

  ③平面向量的坐标表示(坐标表示法):

  分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得,叫做向量的(直角)坐标,记作,其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标, 特别地,.;若,则,

  3.零向量、单位向量:

  ①长度为0的向量叫零向量,记为;

  ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.(注:就是单位向量)

  4.平行向量:

  ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;

  ②我们规定与任一向量平行.向量、、平行,记作∥∥.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.

  性质:是)

  (其中 )

  5.相等向量和垂直向量:

  ①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

  ②垂直向量——两向量的夹角为

  性质:

  (其中 )

  6.向量的加法、减法:

  ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.

  平行四边形法则:

  (起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形)

  三角形法则

  ——加法法则的推广: ……

  即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有……

  ②向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差.即: -= + (-);

  差向量的意义: = , =, 则=-

  ③平面向量的坐标运算:若,则,.

  ④向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+) +=+ (+)

  ⑤常用结论:

  (1)若,则D是AB的中点

  (2)或G是△ABC的重心,则

  7.向量的模:

  1、定义:向量的大小,记为 || 或 ||

  2、模的求法:

  若 ,则 ||

  若, 则 ||

  3、性质:

  (1); (实数与向量的转化关系)

  (2),反之不然

  (3)三角不等式:

  (4) (当且仅当共线时取“=”)

  即当同向时 ,; 即当同反向时 ,

  (5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,

  即

  数学平面向量知识点

  8.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ

  (1)|λ|=|λ|||;

  (2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=;

  (3)运算定律 λ(μ)=(λμ),(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ

  交换律:;

  分配律:

  ()·=(·)=·();

  ——①不满足结合律:即

  ②向量没有除法运算.如:,都是错误的

  (4)已知两个非零向量,它们的夹角为,则

  =

  坐标运算:,则

  (5)向量在轴上的投影为:

  ︱︱, (为的夹角,为的方向向量)

  其投影的长为 (为的单位向量)

  (6)的夹角和的关系:

  (1)当时,同向;当时,反向

  (2)为锐角时,则有; 为钝角时,则有

  9.向量共线定理:

  向量与非零向量共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.

  10.平面向量基本定理:

  如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.

  (1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

  (2)基底不惟一,关键是不共线;

  (3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;

  (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被,确定的数量.

  向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)

  11. 向量和的数量积:

  ①·=| |·||cos,其中∈[0,π]为和的夹角.

  ②||cos称为在的方向上的投影.

  ③·的几何意义是:的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零),而不是向量.

  ④若 =(,), =(x2,), 则

  ⑤运算律:a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ(a·b), (a+b)·c=a·c+b·c.

  ⑥和的夹角公式:cos==

  ⑦||2=x2+y2,或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |.

  12.两个向量平行的充要条件:

  符号语言:若∥,≠,则=λ

  坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0

  在这里,实数λ是存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ<0.

  |λ|=,λ的大小由及的大小确定.因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义.

  13.两个向量垂直的充要条件:

  符号语言:⊥·=0

  坐标语言:设=(x1,y1), =(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0

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