圆内接四边形的性质与判定定理易错点

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圆内接四边形的性质与判定定理大汇总

 

　　圆内接四边形的性质与判定定理易错点

 

 重、难点

重点：圆内接四边形的性质定理．

难点：定理的灵活运用．

学习过程

(一)基本概念

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．

(二)创设研究情境

问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？

研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)

1、边的性质：

(1)矩形：对边相等，对边平行．

(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．

(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．

归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．

2、角的关系

 

	相邻两内角互补	有两组相等的角	相对两内角互补
矩形	是	是	是
正方形	是	是	是
等腰梯形	不是	是	是

 

猜想：圆内接四边形的对角互补．

(三)证明猜想

引导孩子证明．(参看思路)

思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？21世纪教育网版权所有

思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？21教育网

(四)性质及应用

定理1 圆的内接四边形的对角互补.

定理2 圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．

经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.21cnjy.com

假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.

求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).

分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.

显然，圆O与点D有且只有三种关系：

(1)点D在圆外；

(2)点D在圆内；

(3)点D在圆上.

只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.

老师引导孩子完成证明.

可得：

圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.

在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，较后获证结论的方法，称为穷举法.21·cn·jy·com

推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.

 

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