高二数学知识点解析：排列组合公式

　　
　　
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　　排列组合公式/排列组合公式
　　
　　排列P------和顺序有关
　　
　　组合C-------不牵涉到顺序的问题
　　
　　排列分顺序，组合不分
　　
　　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"
　　
　　把5本书分给3个人，有几种分法"组合"
　　
　　1．排列及公式
　　
　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.
　　
　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1).
　　
　　2．组合及公式
　　
　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
　　
　　c(n，m)表示.
　　
　　c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；
　　
　　3．其他排列与组合公式
　　
　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.
　　
　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为
　　
　　n！/(n1！*n2！*...*nk！).
　　
　　k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).
　　
　　排列（Pnm(n为下标，m为上标)）
　　
　　Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n
　　
　　组合（Cnm(n为下标，m为上标)）
　　
　　Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m
　　
　　2008-07-0813：30
　　
　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
　　
　　从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1)；
　　
　　因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
　　
　　举例：
　　
　　Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
　　
　　A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”范畴。
　　
　　上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，较终共有9*8*7个三位数。公式＝P（3，9)＝9*8*7，(从9倒数3个的乘积）
　　
　　Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
　　
　　A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”范畴。
　　
　　上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为较终组合数C(3，9)=9*8*7/3*2*1
　　
　　排列、组合的概念和公式典型例题分析
　　
　　例1设有3名孩子和4个课外小组．（1）每名孩子都只参加一个课外小组；（2）每名孩子都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名孩子参加．各有多少种不同方法？
　　
　　解（1）由于每名孩子都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
　　
　　（2）由于每名孩子都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名孩子参加，因此共有种不同方法．
　　
　　点评由于要让3名孩子逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行．
　　
　　例2排成一行，其中不排先进，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
　　
　　解依题意，符合要求的排法可分为先进个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
　　
　　∴符合题意的不同排法共有9种．
　　
　　点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
　　
　　例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并出结果．
　　
　　（1）高三年级孩子会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
　　
　　（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学诊断，有多少种不同的选法？
　　
　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

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