2017高考数学核心考点：球的截面概念和性质

 

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   【教学目的】

　　1、理解球面、球体的概念。2、掌握球的截面的性质。

　　3、掌握球面距离的概念。

　　【教学重点】球的截面的性质及应用。

　　【教学难点】球面距离的概念。

　　【德育目标】事物是相互联系的（平面与立体空间之间的内在联系）

　　【教学过程】

　　一、引入

　　我们玩过的篮球、排球、足球等等都给我们以球体的形象。今天，我们就从几何的角度来研究"球的概念和性质"。

　　二新授

　　1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到吗？我们来看一个实验。（用多媒体演示）教师小结并板书。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。孩子看图指出球心、半径、直径，一一在图上标出。值得注意的是：

　　1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。

　　2）球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？孩子回答，教师小结并板书球面的集合（轨迹）定义。与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部、外部？

　　3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O。

　　2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是什么形状呢？截面是圆面（用模型演示并加以口头说明）。如果用平面截球面，那么截得的是圆。我们用平面截球面，把过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆。

　　球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO1与截面圆O1会有什么关系呢？

　　孩子猜出结论后，教师引导分析原因。得出性质1性质2。

　　1）球心与截面圆心的连线垂直于截面。作图并讨论垂直的理由。

　　2）设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=

　　3、训练一：

　　1）判断正误：（对的打√，错的打×）

　　（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（）

　　（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（）

　　（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（）

　　（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（）

　　（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（）

　　2）在球的性质中，若将"球"改为"圆"，将"截面"改为"弦"，你能将球的上述性质变为平面几何中圆的类似性质吗？

　　4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。从数学的角度，同学们知道经度、纬度的具体含义吗？演示经度、纬度所指的角。

　　5、球面距离：假如我们要坐飞机从长沙到巴西去踢足球，选择怎样的航线航程较短呢？大家知道，平面上两点之间线段较短，而我们又不能从长沙向巴西挖一隧道，但理论上肯定存在一个较短距离。这就是我们下面要讲的球面距离。

　　我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。

　　例1我国首都北京靠近北纬40度。（1）求北纬40°纬线圈的半径约为多少千米。（2）求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）。

　　电脑作图，分析，显示解答过程。

　　训练二：

　　1）填空

　　（1）设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，较

　　大面积是。

　　（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则

　　这截面圆的半径是球半径的。

　　（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径OA、OB的夹角

　　是n°（n＜180＝求A、B两点的球面距离。

　　2）思功课：地球半径为R，A、B是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、B两地的球面距离。

　　三小结：

　　a)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体。

　　b)以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆。

　　c)球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：

　　d)把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。

　　e)球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度。

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