2016年通州区高二下学期期末数学试题及答案

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　　2015-2016学年北京市通州区潞河中学高二(上)期中数学试题(理科)

　　一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分)

　　1.直线2x+y+7=0的倾斜角为( )

　　A.锐角B.直角C.钝角D.不存在

　　2.已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是( )

　　A.若m∥β，则m∥lB.若m∥l，则m∥βC.若m⊥β，则m⊥lD.若m⊥l，则m⊥β

　　3.已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k(x﹣1)+1，则l与C的位置关系是( )

　　A.一定相离B.一定相切

　　C.相交且一定不过圆心D.相交且可能过圆心

　　4.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为( )

　　A.x+y=0B.x+y=2C.x﹣y=2D.x﹣y=﹣2

　　5.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，较大的是( )

　　A.B.8C.D.

　　6.与圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有( )

　　A.1条B.2条C.3条D.4条

　　7.如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点.给出下列命题.

　　①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形

　　②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥

　　③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

　　④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上

　　其中真命题的序号是( )

　　A.①②B.②③C.③D.③④

　　8.已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动(含边界)，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为( )

　　A.B.或36+C.36﹣D.或36﹣

　　二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

　　9.直线ax﹣2y+2=0与直线x+(a﹣3)y+1=0平行，则实数a的值为 .

　　10.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是 .

　　11.已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m= .

　　12.若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的较大值为 .

　　13.如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为 .

　　14.设直线系M：xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：

　　A.M中所有直线均经过一个定点

　　B.存在定点P不在M中的任一条直线上

　　C.对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

　　D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

　　其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).

　　三、解答题(本大题共6小题，共80分)

　　15.在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.

　　(Ⅰ)求证：DE∥平面ACF;

　　(Ⅱ)求证：BD⊥AE.

　　16.已知圆C：(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.

　　(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程;

　　(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

　　17.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2.

　　(Ⅰ)求证：平面A1BC⊥平面A1DC;

　　(Ⅱ)若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值;

　　(Ⅲ)当D点在何处时，A1B的长度较小，并求出较小值.

　　18.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.

　　(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE;

　　(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣D的余弦值;

　　(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论.

　　19.已知圆C经过点A(﹣2，0)，B(0，2)，且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点.

　　(Ⅰ)求圆C的方程;

　　(Ⅱ)若，求实数k的值;

　　(Ⅲ)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的较大值.

　　20.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：(x+3)2+(y﹣1)2=4和圆C2：(x﹣4)2+(y﹣5)2=4

　　(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程

　　(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标.

 

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