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一、选择题
1。若点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则()
A。过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B。过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C。过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D。过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
答案:B命题立意:本题考查异面直线的几何性质,难度较小。
解题思路:因为点P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直,故选B。
2。如图,P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()
A。平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B。它们两两垂直
C。平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
D。平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案:A解题思路:DA⊥AB,DAPA,AB∩PA=A,
DA⊥平面PAB,又DA平面PAD,平面PAD平面PAB。同理可证平面PAB平面PBC。把四棱锥P-ABCD放在长方体中,并把平面PBC补全为平面PBCD1,把平面PAD补全为平面PADD1,易知CD1D即为两个平面所成二面角的平面角,CD1D=APB,
CD1D<90°,故平面PAD与平面PBC不垂直。
3。设α,β分别为两个不同的平面,直线lα,则“lβ”是“αβ”成立的()
A。充分不必要条件
B。必要不充分条件
C。充要条件
D。既不充分也不必要条件
答案:A命题立意:本题主要考查空间线面、面面位置关系的判定与充分必要条件的判断,意在考查考生的逻辑推理能力。
解题思路:依题意,由lβ,lα可以推出αβ;反过来,由αβ,lα不能推出lβ。因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件,故选A。
4。若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论正确的是()
A。若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线
B。若m,n都垂直于平面α,则m,n一定是平行直线
C。已知α,β互相垂直,m,n互相垂直,若mα,则nβ
D。m,n在平面α内的射影互相垂直,则m,n互相垂直
答案:B解题思路:本题考查了空间中线面的平行及垂直关系。在A中:因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故A为假命题;在B中:因为垂直于同一平面的两直线平行,故B为真命题;在C中:n可以平行于β,也可以在β内,也可以与β相交,故C为假命题;在D中:m,n也可以不互相垂直,故D为假命题。故选B。
5。如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动,另一端点N在正方形ABCD内运动,则MN的中点的轨迹的面积为()
A。4πB。2π
C。πD。-π
答案:D解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系。如图可知,端点N在正方形ABCD内运动,连接ND,由ND,DM,MN构成一个直角三角形,设P为NM的中点,根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论MDN如何变化,点P到点D的距离始终等于1。故点P的轨迹是一个以D为中心,半径为1的球的球面,其面积为。
技巧点拨:探求以空间图形为背景的轨迹问题,要善于把立体几何问题转化到平面上,再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解,实现立体几何到解析几何的过渡。
6。如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
直线BE与直线CF是异面直线;直线BE与直线AF是异面直线;直线EF平面PBC;平面BCE平面PAD。
其中正确结论的序号是()
A。1B。1
C。3D。4
答案:B解题思路:本题考查了立体几何中的点、线、面之间的关系。画出几何体的图形,如图,由题意可知,直线BE与直线CF是异面直线,不正确,因为E,F分别是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,直线BE与直线CF是共面直线;直线BE与直线AF是异面直线,满足异面直线的定义,正确;直线EF平面PBC,由E,F是PA与PD的中点,可知EFAD,所以EFBC,因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以判断是正确的;由题中条件不能判定平面BCE平面PAD,故不正确。故选B。
技巧点拨:翻折问题常见的是把三角形、四边形等平面图形翻折起来,然后考查立体几何的常见问题:垂直、角度、距离、应用等问题。此类问题考查孩子从二维到三维的升维能力,考查孩子空间想象能力。解决该问题时,不仅要知道空间立体几何的有关概念,还要注意到在翻折的过程中哪些量是不变的,哪些量是变化的。
二、填空题
7。如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD平面CEFB,CE=1,AED=30°,则异面直线BC与AE所成角的大小为________。
答案:45°解题思路:因为BCAD,所以EAD就是异面直线BC与AE所成的角。
因为平面ABCD平面CEFB,且ECCB,
所以EC平面ABCD。
在RtECD中,EC=1,CD=1,故ED==。
在AED中,AED=30°,AD=1,由正弦定理可得=,即sinEAD===。
又因为EAD∈(0°,90°),所以EAD=45°。
故异面直线BC与AE所成的角为45°。
8。给出命题:
异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线;
两异面直线a,b,如果a平行于平面α,那么b不平行于平面α;
两异面直线a,b,如果a平面α,那么b不垂直于平面α;
两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线。
上述命题中,真命题的序号是________。
答案:解题思路:本题考查了空间几何体中的点、线、面之间的关系。根据异面直线的定义知:异面直线是指空间中既不平行又不相交的直线,故命题为真命题;两条异面直线可以平行于同一个平面,故命题为假命题;若bα,则ab,即a,b共面,这与a,b为异面直线矛盾,故命题为真命题;两条异面直线在同一个平面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线,故命题为假命题。
9。如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱锥的体积的较大值为________。
答案:16命题立意:本题以球的内接组合体问题引出,综合考查了棱锥体积公式、利用导数工具处理函数较值的方法,同时也有效地考查了考生的运算求解能力和数学建模能力。
解题思路:设球心到底面的距离为x,则底面边长为,高为x+3,正六棱锥的体积V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27),其中0≤x<3,则V′=(-3x2-6x+9)=0,令x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3(舍),故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16。
10。已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为________。
答案:命题立意:本题主要考查线面垂直、三棱锥与球的体积方法,意在考查考生的空间想象能力与基本运算能力。
解题思路:依题意,AB=2R,又=,ACB=90°,因此AC=R,BC=R,三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3。而球的体积V球=R3,因此VP-ABCV球=R3R3=。
三、解答题
11。如图,四边形ABCD与A′ABB′都是正方形,点E是A′A的中点,A′A平面ABCD。
(1)求证:A′C平面BDE;
(2)求证:平面A′AC平面BDE。
解题探究:先进问通过三角形的中位线证明出线线平行,从而证明出线面平行;第二问由A′A与平面ABCD垂直得到线线垂直,再由线线垂直证明出BD与平面A′AC垂直,从而得到平面与平面垂直。
解析:(1)设AC交BD于M,连接ME。
四边形ABCD是正方形,
M为AC的中点。
又E为A′A的中点,
ME为A′AC的中位线,
ME∥A′C。
又ME?平面BDE,
A′C?平面BDE,
A′C∥平面BDE。
(2)∵四边形ABCD为正方形,BD⊥AC
∵A′A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
A′A⊥BD。
又AC∩A′A=A,BD⊥平面A′AC。
BD?平面BDE,
平面A′AC平面BDE。
12。如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC。
(1)求证:D1CAC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由。
命题立意:本题主要考查空间几何体中的平行与垂直的判定,考查考生的空间想象能力和推理论证能力。通过已知条件中的线线垂直关系和线面垂直的判定证明线面垂直,从而证明线线的垂直关系。并通过线段的长度关系,借助题目中线段的中点和三角形的中位线寻找出线线平行,证明出线面的平行关系。解决本题的关键是学会作图、转化、构造。
解析:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接C1D,DC=DD1,
四边形DCC1D1是正方形,
DC1⊥D1C。
又ADDC,ADDD1,DC∩DD1=D,
AD⊥平面DCC1D1,
又D1C平面DCC1D1,
AD⊥D1C。
∵AD?平面ADC1,DC1平面ADC1,
且AD∩DC1=D,
D1C⊥平面ADC1,
又AC1平面ADC1,
D1C⊥AC1。
(1)题图
(2)题图
(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN。
平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E平面A1BD,
可使MND1E,又M是AD1的中点,
则N是AE的中点。
又易知ABN≌△EDN,
AB=DE。
即E是DC的中点。
综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD。
13。已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B和B′C′的中点。
(1)证明:MN平面A′ACC′;
(2)求三棱锥C-MNB的体积。
命题立意:本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识。意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
解析:(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点。
MN∥AC′。
又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′,
MN∥平面A′ACC′。
(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN,
BAC=90°,BC==2,
又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,且AA′=4,
S△BCN=×2×4=4。
A′B′=A′C′=2,BAC=90°,点N为B′C′的中点,
A′N⊥B′C′,A′N=。
又BB′⊥平面A′B′C′,
A′N⊥BB′,
A′N⊥平面BCN。
又M为A′B的中点,
M到平面BCN的距离为,
VC-MNB=VM-BCN=×4×=。
14。如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,BD=2AD=8,AB=2DC=4。
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积。
命题立意:本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的等,意在考查考生的逻辑推理能力与能力,考查化归与转化思想。
解析:(1)证明:在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2。
故ADBD。
又平面PAD平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,
所以BD平面PAD,
又BD平面MBD,所以平面MBD平面PAD。
(2)过点P作OPAD交AD于点O,
因为平面PAD平面ABCD,
所以PO平面ABCD。
因此PO为四棱锥P-ABCD的高。
又PAD是边长为4的等边三角形,
所以PO=×4=2。
在四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形。
在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=,此即为梯形ABCD的高。
所以四边形ABCD的面积S=×=24。
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16。