2016年高考数学练习题（一）

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　　一、选择题

　　1。现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

　　75270293714070347437386366947

　　14174698037162332616804560113661

　　9597742476104281

　　根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()

　　A。0。852B。0。8192C。0。8D。0。75

　　答案：D命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力。

　　解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0。75，故选D。

　　2。在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD内任取一点，则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是()

　　A。1/2B。2

　　C。-1D。1

　　答案：D命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查考生的运算求解能力。

　　解题思路：如图，以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆，图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域，由几何概型的概率公式可知，所求概率P==。

　　3。设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN)，若事件Cn的概率较大，则n的所有可能值为()

　　A。3B。4C。2和5D。3和4

　　答案：D解题思路：分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种情况，a+b=2的有1种情况，a+b=3的有2种情况，a+b=4的有2种情况，a+b=5的有1种情况，所以可知若事件Cn的概率较大，则n的所有可能值为3和4，故选D。

　　4。记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为()

　　A。3/4B。1/2

　　C。1/3D。1/4

　　答案：B解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个。而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0，因此满足此条件的基本事件有：(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，共有9个，故所求的概率为=。

　　5。在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为()

　　A。1-B。1-C。1-D。1-

　　答案：

　　B解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立。而a，b[-π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2+b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B。

　　6。袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球。从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()

　　A。5/6B。11/12

　　C。1/2D。3/4

　　答案：B解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==。故选B。

　　二、填空题

　　7。已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________。

　　答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等。

　　解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y2≤2的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=。

　　8。从5名孩子中选2名孩子参加周六、周日社会实践活动，孩子甲被选中而孩子乙未被选中的概率是________。

　　答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力。

　　解题思路：设5名孩子分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名孩子中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，孩子甲被选中而孩子乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为。

　　9。已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x∈[-1，1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________。

　　答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想。

　　解题思路：f(x)=kx+1过定点(0，1)，数形结合可知，当且仅当k[-1，1]时满足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1，1]，[-2，1]的区间长度分别是2，3，故所求的概率为。

　　10。若实数m，n{-2，-1，1，2，3}，且m≠n，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________。

　　解题思路：实数m，n满足m≠n的基本事件有20种，如下表所示。

　　-2-1123-2(-2，-1)(-2，1)(-2，2)(-2，3)-1(-1，-2)(-1，1)(-1，2)(-1，3)1(1，-2)(1，-1)(1，2)(1，3)2(2，-2)(2，-1)(2，1)(2，3)3(3，-2)(3，-1)(3，1)(3，2)其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2，1)，(-2，2)，(-2，3)，(-1，1)，(-1，2)，(-1，3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==。

　　三、解答题

　　11。袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)。

　　(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率；

　　(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率。

　　命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的能力。

　　解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0。

　　解得n<3或n>4。所以n=1，2，5，6。

　　所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==。

　　(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：

　　1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；

　　2，3；2，4；2，5；2，6；

　　3，4；3，5；3，6；

　　4，5；4，6；

　　5，6。

　　共有15种可能的情形。

　　设编号分别为m与n(m，n{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，

　　即有(m-n)(m+n-6)=0。

　　所以m=n(舍去)或m+n=6。

　　满足m+n=6的情形为1，5；2，4，共2种情形。

　　故所求事件的概率为。12。一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4。

　　(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率；

　　(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n。若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率。

　　命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码；(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行。

　　解析：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。

　　当a>0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。以下先进个数表示a的取值，第二个数表示b的取值。基本事件共12个：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)。

　　事件A中包含6个基本事件：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)。

　　事件A发生的概率为P(A)==。

　　(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个。

　　落在区域内的有(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为。

　　13。某校从高一年级孩子中随机抽取40名孩子，将他们的期中诊断数学成绩(助力能力100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图。

　　(1)求图中实数a的值；

　　(2)若该校高一年级共有孩子640人，试估计该校高一年级期中诊断数学成绩不低于60分的人数；

　　(3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的孩子中随机选取2名孩子，求这2名孩子的数学成绩之差的少有值不大于10的概率。

　　命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法。

　　解析：(1)由已知，得10×(0。005+0。01+0。02+a+0。025+0。01)=1，

　　解得a=0。03。

　　(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10×(0。005+0。01)=0。85。

　　由于该校高一年级共有孩子640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中诊断数学成绩不低于60分的人数约为640×0。85=544。

　　(3)易知成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0。05=2，这2人分别记为A，B；成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0。1=4，这4人分别记为C，D，E，F。

　　若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的孩子中随机选取2名孩子，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个。

　　如果2名孩子的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名孩子的数学成绩之差的少有值一定不大于10。如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名孩子的数学成绩之差的少有值一定大于10。

　　记“这2名孩子的数学成绩之差的少有值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个。

　　所以所求概率为P(M)=。

　　14。新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国“节能减排”战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

　　燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型100150y豪华型300450600按能源类型用分开抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆。

　　(1)求y的值；

　　(2)用分开抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率；

　　(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9。3，8。7，9。1，9。5，8。8，9。4，9。0，8。2，9。6，8。4。把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的少有值不超过0。4的概率。

　　命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查孩子的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力。对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分开抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值；对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果；对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果。

　　解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得

　　=，n=2000，y=2000-(100+300)-150-450-600=400。

　　(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2。因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车”，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=。

　　(3)样本平均数=×(9。3+8。7+9。1+9。5+8。8+9。4+9。0+8。2+9。6+8。4)=9。

　　设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的少有值不超过0。4”，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9。3，8。7，9。1，8。8，9。4，9。0，共6个。

　　所求概率为P(D)==。