2016年高考数学专项练习题（七）

　　非标准例题

　　1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.

　　2.(2014江西,文15改编)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求x+y的取值范围.

　　3.若对任意的aR,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,求实数x的取值范围.

　　4.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.

　　5.已知x,y,zR+,且x+y+z=1,求的较小值.

　　6.(2014江苏,21)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.

　　7.已知a, b,cR,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的较小值.

　　8.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,求实数a的取值范围.

　　9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|.

　　(1)当a=-1时,解关于x的不等式f(x)>5;

　　(2)已知关于x的不等式f(x)+a<2014(a是常数)的解集是非空集合,求实数a的取值范围.

　　10.(2014河南郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|.

　　(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

　　(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

　　非标准答案

　　1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的较小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,

　　即(a+1)≤0,

　　解得a.

　　2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x≤1时取等号,

　　|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y≤1时取等号,

　　|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①

　　又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②

　　∴只有当0≤x≤1,0≤y≤1时,两式同时成立.

　　0≤x+y≤2.

　　3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,

　　得|x|+|x-1|≥2.

　　当x<0时,-x+1-x≥2,x≤-.

　　当0≤x≤1时,x+1-x≥2,无解.

　　当x>1时,x+x-1≥2,x≥.

　　综上,x≤-或x≥.

　　4.解:函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,

　　即|x-2|+|x+3|>m恒成立.

　　因为对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范围是(-∞,5).

　　5.解法一:由于(x+y+z)

　　≥

　　=36.

　　所以≥36,较小值为36.

　　当且仅当x2=y2=z2,

　　即x=,y=,z=时,等号成立.

　　解法二:

　　=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)

　　=14+≥14+4+6+12=36.较小值为36.

　　当且仅当y=2x,z=3x,即x=,y=,z=时,等号成立.

　　6.证明:因为x>0,y>0,

　　所以1+x+y2≥3>0,

　　1+x2+y≥3>0,

　　故(1+x+y2)(1+x2+y)

　　≥3·3=9xy.

　　7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),

　　∴a2+4b2+9c2

　　≥(a+2b+3c)2==12.

　　∴a2+4b2+9c2的较小值为12.

　　解法二:由柯西不等式,

　　得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)

　　≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,

　　故a2+4b2+9c2≥12,

　　从而a2+4b2+9c2的较小值为12.

　　8.解:利用少有值不等式的性质求解.

　　|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a

　　a-1|,

　　要使|x-a|+|x-1|≤3有解,

　　可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,

　　∴-2≤a≤4.

　　9.解:(1)构造函数g(x)=|x-1|+|x-2|-5,则g(x)=

　　令g(x)>0,则x<-1或x>4,

　　原不等式的解集为(-∞,-1)(4,+∞).

　　(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,

　　又关于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,

　　|a+2|+a<2014,解得a<1006.

　　10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,

　　解得a-3≤x≤a+3.

　　又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},

　　所以解得a=2.

　　(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,

　　设g(x)=f(x)+f(x+5),

　　于是g(x)=|x-2|+|x+3|

　　=

　　所以当x<-3时,g(x)>5;

　　当-3≤x≤2时,g(x)=5;

　　当x>2时,g(x)>5.

　　综上可得,g(x)的较小值为5.

　　从而若f(x)+f(x+5)≥m,

　　即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].