北京
单元测试卷丨学科知识同步丨期中期末卷等
题型一 抛物线的定义及其应用
例1 设P是抛物线y2=4x上的一动点，
(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的较小值;
(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB+PF的较小值.
破题切入点 画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题.
解 (1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP+PF≥AF==，从而知点P到A(-1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的较小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的较小值也为.
(2)
如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的较小值为4.
题型二 抛物线的标准方程及性质
例2 (1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________ m.
破题切入点 准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.
答案 (1)(2，+∞) (2)2
解析 (1)∵x2=8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.
以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，
又圆心F到准线的距离为4，故42.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
则A(2，-2)，将其坐标代入x2=-2py得p=1.
∴x2=-2y.
水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，
将其坐标代入x2=-2y，得x=6，
∴x0=.∴水面宽CD=2 m.
题型三 直线和抛物线的位置关系
例3 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.
破题切入点 (1)将点代入易求方程.
(2)假设存在，根据条件求出，注意验证.
解 (1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x，
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.
由直线OA到l的距离d=，
可得=，
解得t=±1.
又因为-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.
总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e=1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决.
(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系.
(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2=-p2，x1x2=;
②若直线AB的倾斜角为θ，则AB=;
③若F为抛物线焦点，则有+=.
1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，-2)到焦点的距离为4，则m的值为________.
答案 4或-4
解析 设标准方程为x2=-2py(p>0)，
由定义知P到准线的距离为4，故+2=4，所以p=4，
则方程为x2=-8y，代入P点坐标得m=±4.
2.若抛物线y2=8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个.
答案 1
解析 由题意得F(2,0)，l：x=-2，
线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-)，
即x+3y-7=0，设圆的圆心坐标为(a，b)，
则圆心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，
由题意得|a-(-2)|=，
即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.
又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.
答案 2±
解析 依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，点P(，y1).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF=+=2，由此解得p=2±.
4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.
答案
解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，
因此直线AB的方程为y=(x-)，
即4x-4y-3=0.
方法一 联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0，
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.
方法二 联立方程得x2-x+=0，
故xA+xB=.
根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+
=12，
同时原点到直线AB的距离为h==，
因此S△OAB=AB·h=.
5.已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的较小值为________.
答案 3
6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF=3，则△AOB的面积为______.
答案
解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，
又AF=3，
由抛物线定义知：点A到准线x=-1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8，
由图知点A的纵坐标y=2，
∴A(2,2)，
∴直线AF的方程为y=2(x-1).
联立直线与抛物线的方程
解之得或由图知B，
∴S△AOB=OF·|yA-yB|=×1×|2+|
=.
7.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________.
答案 6
解析 因为△ABF为等边三角形，
所以由题意知B，
代入方程-=1得p=6.
11.(2014·大纲全国)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QF=PQ.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.
解 (1)设Q(x0,4)，代入y2=2px得x0=.
所以PQ=，QF=+x0=+.
由题设得+=×，
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x，得y2-4my-4=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4.
故设AB的中点为D(2m2+1,2m)，
AB=|y1-y2|=4(m2+1).
又l′的斜率为-m，
所以l′的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x，
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3+y4=-，y3y4=-4(2m2+3).
故设MN的中点为E(+2m2+3，-)，
MN= |y3-y4|=，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AE=BE=MN，
从而AB2+DE2=MN2，
即4(m2+1)2+(+2)2+(2m+)2=，
化简得m2-1=0，解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
12.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.
解 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：-x=1(x>0).
化简得y2=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x=ty+m，
由得y2-4ty-4m=0，
Δ=16(t2+m)>0，于是①
又=(x1-1，y1)，=(x2-1，y2)，·<0
(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
又x=，于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0+y1y2-
+1<0.③
由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④
对任意实数t,4t2的较小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-2
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3-2，3+2).
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