2016年高考数学专项练习题（五）

　　题型一　直线和椭圆的位置关系

　　例1　如图所示，椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

　　(1)求C1，C2的方程;

　　(2)求证：MA⊥MB;

　　(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围.

　　破题切入点　(1)利用待定系数法求解曲线C1，C2的方程.

　　(2)设出直线AB和曲线C2联立，利用坐标形式的向量证明.

　　(3)将S1和S2分别表示出来，利用基本不等式求较值.

　　(1)解　由题意，知=，

　　所以a2=2b2.

　　又2=2b，得b=1.

　　所以曲线C2的方程：y=x2-1，椭圆C1的方程：+y2=1.

　　(2)证明　设直线AB：y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由题意，知M(0，-1).

　　则x2-kx-1=0，

　　·=(x1，y1+1)·(x2，y2+1)

　　=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1

　　=-(1+k2)+k2+1=0，

　　所以MA⊥MB.

　　(3)解　设直线MA的方程：y=k1x-1，直线MB的方程：y=k2x-1，

　　由(2)知k1k2=-1，M(0，-1)，

　　由解得或

　　所以A(k1，k-1).

　　同理，可得B(k2，k-1).

　　故S1=MA·MB=·|k1||k2|.

　　由解得或

　　所以D(，).

　　同理，可得E(，).

　　故S2=MD·ME

　　=·，

　　=λ==≥，

　　则λ的取值范围是[，+∞).

　　题型二　直线和双曲线的位置关系

　　例2　已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

　　(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围;

　　(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

　　破题切入点　(1)联立方程组，利用Δ>0求出k的取值范围.

　　(2)联立方程用根与系数的关系求解.

　　解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，

　　则方程组有两个不同的实数根，

　　整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

　　∴

　　解得-|x2|时，

　　S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)

　　=|x1-x2|;

　　当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，

　　S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)

　　=|x1-x2|.

　　∴S△OAB=|x1-x2|=，∴(x1-x2)2=(2)2，

　　即()2+=8，解得k=0或k=±.

　　又∵-0，b>0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e=，且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.

　　(1)求双曲线M和抛物线N的方程;

　　(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.

　　破题切入点　(1)根据双曲线的性质，用a，c表示已知条件，建立方程组即可求解双曲线的方程，然后根据抛物线的焦点求出抛物线的方程.

　　(2)设出点P的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，并求出点Q的坐标，然后根据圆的性质列出关于点P的坐标的方程，将问题转化为方程恒成立的问题来解决.

　　解　(1)在双曲线中，c=，

　　由e=，得=，

　　解得a=b，故c=2b.

　　所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b

　　=1-，解得b=1.

　　所以a=，c=2，其上焦点为F(0,2).

　　所以双曲线M的方程为-x2=1，

　　抛物线N的方程为x2=8y.

　　(2)由(1)知抛物线N的方程为y=x2，故y′=x，抛物线的准线为y=-2.

　　设P(x0，y0)，则x0≠0，y0=x，

　　且直线l的方程为y-x=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得

　　所以Q(，-2).

　　假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，

　　也就是·=0对于满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立.

　　由于=(x0，y0-y1)，=(，-2-y1)，

　　由·=0，

　　得x0·+(y0-y1)(-2-y1)=0，

　　整理得-2y0-y0y1+2y1+y=0，

　　即(y+2y1-8)+(2-y1)y0=0，(*)

　　由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的x0，y0恒成立，

　　所以解得y1=2.

　　故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点，定点坐标为(0,2).

　　总结提高　直线和圆锥曲线的位置关系问题，万变不离其宗，构建属于自己的解题模板，形成一定的解题思路，利用数形结合思想来加以解决.

　　1. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的面积为2(O为坐标原点).

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|=2p，

　　∴S△OMN=·2p·==2，即p=2.

　　∴抛物线C的方程为y2=4x.

　　(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足.设正方形的第三个顶点为P.

　　故可设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，

　　联立可化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

　　则代入直线l可得MN的中点为(，)，

　　则线段MN的垂直平分线为y-=-(x-1-)，

　　故P(0，+).

　　又·=0，则x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0.

　　即x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y=0.

　　1-4-y0·+y=0，化解得ky-4y0-3k=0，

　　由y0=+代入上式，化简得(3k4-4)(k2+1)=0.

　　解得k=± .∴存在直线l：y=± (x-1).

　　2.(2013·广东)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

　　(1)求抛物线C的方程;

　　(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

　　(3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的较小值.

　　解　(1)依题意知=，c>0，解得c=1.

　　所以抛物线C的方程为x2=4y.

　　(2)由y=x2得y′=x，

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，

　　所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，

　　即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.

　　同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0，

　　又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，

　　所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

　　所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解，

　　所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

　　(3)由抛物线定义知AF=y1+1，BF=y2+1，

　　所以AF·BF=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

　　联立方程

　　消去x整理得y2+(2y0-x)y+y=0，

　　∴y1+y2=x-2y0，y1y2=y，

　　∴AF·BF=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1

　　=y+(y0+2)2-2y0+1=2y+2y0+5

　　=22+，

　　∴当y0=-时，AF·BF取得较小值，且较小值为.

　　3.(2013·浙江)

　　如图，点P(0，-1)是椭圆C1：+=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

　　(1)求椭圆C1的方程;

　　(2)求△ABD面积取较大值时直线l1的方程.

　　解　(1)由题意得

　　所以椭圆C1的方程为+y2=1.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).

　　由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

　　则直线l1的方程为y=kx-1.

　　又圆C2：x2+y2=4，

　　故点O到直线l1的距离d=，

　　所以AB=2=2 .

　　又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0.

　　由

　　消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0，

　　故x0=-.所以PD=.

　　设△ABD的面积为S，

　　则S=·AB·PD=，

　　所以S=

　　≤

　　=，

　　当且仅当k=±时取等号.

　　所以所求直线l1的方程为y=±x-1.

　　4.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+=0相切.

　　(1)求双曲线E的方程;

　　(2)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使·为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)由题意知=a，

　　∴a=.

　　又∵2c=4，∴c=2，∴b==1.

　　∴双曲线E的方程为-y2=1.

　　(2)当直线为y=0时，

　　则P(-，0)，Q(，0)，F(-2,0)，

　　∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1.

　　当直线不为y=0时，

　　可设l：x=ty+m(t≠±)代入E：-y2=1，

　　整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠±).(*)

　　由Δ>0得m2+t2>3.

　　设方程(*)的两个根为y1，y2，

　　满足y1+y2=-，y1y2=，

　　∴·=(ty1+m+2，y1)·(ty2+m+2，y2)

　　=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2

　　=.

　　当且仅当2m2+12m+15=3时，·为定值，

　　解得m1=-3-，m2=-3+(舍去).

　　综上，过定点M(-3-，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使·=1为定值.

　　5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y0>0)，

　　则切线斜率为-，切线方程为y-y0=-(x-x0)，

　　即x0x+y0y=4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.

　　由x+y=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时，x0y0有较大值，即S有较小值，

　　因此点P的坐标为(，).

　　由题意知解得

　　故C1的方程为x2-=1.

　　(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-，0)，(，0)，

　　由此设C2的方程为+=1，其中b1>0.

　　由P(，)在C2上，得+=1，

　　解得b=3，因此C2的方程为+=1.

　　显然，l不是直线y=0.

　　设l的方程为x=my+，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由得(m2+2)y2+2my-3=0，

　　又设y1，y2是方程的根，因此

　　由x1=my1+，x2=my2+，得

　　因为=(-x1，-y1)，=(-x2，-y2)，

　　由题意知·=0，

　　所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0，⑤

　　将①②③④代入⑤整理得2m2-2m+4-11=0，

　　解得

　　m=-1或m=-+1.

　　因此直线l的方程为x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.