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2016年高考数学专项练习题(四)

2016-04-27 14:19:22 来源:佚名
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  题型一 定值、定点问题

  例1 已知椭圆C:+=1经过点(0,),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.

  (1)求椭圆C的方程;

  (2)若直线l交y轴于点M,且=λ,=μ,当直线l的倾斜角变化时,探求λ+μ的值是否为定值?若是,求出λ+μ的值;否则,请说明理由.

  破题切入点 (1)待定系数法.

  (2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式=λ,=μ.把λ,μ用点A,B的横坐标表示出来,只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值.

  解 (1)依题意得b=,e==,a2=b2+c2,

  ∴a=2,c=1,∴椭圆C的方程为+=1.

  (2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,

  又F坐标为(1,0),设直线l方程为

  y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k),

  设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),

  由

  消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

  ∴x1+x2=,x1x2=,

  又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),

  ∴λ=,同理μ=,

  ∴λ+μ=+=

  所以当直线l的倾斜角变化时,直线λ+μ的值为定值-.

  题型二 定直线问题

  例2 在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点.

  (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的较小值;

  (2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.

  破题切入点 假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解.

  解 方法一 (1)依题意,点N的坐标为N(0,-p),

  可设A(x1,y1),B(x2,y2),

  直线AB的方程为y=kx+p,

  与x2=2py联立得

  消去y得x2-2pkx-2p2=0.

  由根与系数的关系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.

  于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

  =p|x1-x2|=p

  =p=2p2,

  ∴当k=0时,(S△ABN)min=2p2.

  (2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,

  AC的中点为O′,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,

  则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为(,).

  ∵O′P=AC==,

  O′H==|2a-y1-p|,

  ∴PH2=O′P2-O′H2

  =(y+p2)-(2a-y1-p)2

  =(a-)y1+a(p-a),

  ∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

  令a-=0,得a=,

  此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,

  其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.

  方法二 (1)前同方法一,再由弦长公式得

  AB=|x1-x2|

  =·

  =·

  =2p·,

  又由点到直线的距离公式得d=.

  从而S△ABN=·d·AB

  =·2p··

  =2p2.

  ∴当k=0时,(S△ABN)min=2p2.

  (2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,

  则以AC为直径的圆的方程为

  (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,

  将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,

  则Δ=x-4(a-p)(a-y1)

  =4[(a-)y1+a(p-a)].

  设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),

  则有PQ=|x3-x4|=

  =2.

  令a-=0,得a=,

  此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,

  其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.

  题型三 定圆问题

  例3 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.

  (1)求椭圆G的方程;

  (2)求△AkF1F2的面积;

  (3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

  破题切入点 (1)根据定义,待定系数法求方程.

  (2)直接求.

  (3)关键看长轴两端点.

  解 (1)设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则解得

  所以b2=a2-c2=36-27=9.

  所以所求椭圆G的方程为+=1.

  (2)点Ak的坐标为(-k,2),

  S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.

  (3)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0,可知点(6,0)在圆Ck外;

  若k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0,可知点(-6,0)在圆Ck外.

  所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G.

  即不存在圆Ck包围椭圆G.

  总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.

  (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

  (3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型.

  1.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.

  (1)求k的取值范围;

  (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.

  解 (1)由已知条件,得直线l的方程为y=kx+,

  代入椭圆方程得+(kx+)2=1.

  整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①

  直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,

  解得k<-或k>.

  即k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).

  (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),

  则+=(x1+x2,y1+y2),

  由方程①,得x1+x2=-.②

  又y1+y2=k(x1+x2)+2.③

  而A(,0),B(0,1),=(-,1).

  所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2),

  将②③代入上式,解得k=.

  由(1)知k<-或k>,

  故不存在符合题意的常数k.

  2.已知双曲线方程为x2-=1,问:是否存在过点M(1,1)的直线l,使得直线与双曲线交于P、Q两点,且M是线段PQ的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由.

  解 显然x=1不满足条件,设l:y-1=k(x-1).

  联立y-1=k(x-1)和x2-=1,

  消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,

  由Δ>0,得k<,x1+x2=,

  由M(1,1)为PQ的中点,得==1,

  解得k=2,这与k<矛盾,

  所以不存在满足条件的直线l.

  3.设椭圆E:+=1(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点.

  (1)求椭圆E的方程;

  (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥?若存在,写出该圆的方程,并求AB的取值范围;若不存在,请说明理由.

  解 (1)因为椭圆E:+=1(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,

  所以解得

  所以椭圆E的方程为+=1.

  (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥,设该圆的切线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组得x2+2(kx+m)2=8,

  即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,

  则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0.

  故

  y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

  =-+m2

  =.

  要使⊥,需使x1x2+y1y2=0,

  即+=0,

  所以3m2-8k2-8=0,

  所以k2=≥0.

  又8k2-m2+4>0,所以所以m2≥,

  即m≥或m≤-,

  因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,

  所以圆的半径为r=,

  r2===,r=,

  所求的圆为x2+y2=,

  此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-,

  而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为(,±)或(-,±)满足⊥,综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且⊥.

  4.(2014·重庆)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.

  (1)求该椭圆的标准方程.

  (2)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

  解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.

  由=2,得DF1==c,

  从而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=,故c=1,

  从而DF1=.

  由DF1⊥F1F2,得DF=DF+F1F=,

  因此DF2=.

  所以2a=DF1+DF2=2,

  故a=,b2=a2-c2=1.

  因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.

  (2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.

  由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2.

  由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),

  所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),

  再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y=0.

  由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x1=0,

  解得x1=-或x1=0.

  当x1=0时,P1,P2重合,题设要求的圆不存在.

  当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

  设C(0,y0),

  由CP1⊥F1P1,得·=-1.

  而求得y1=,故y0=.

  圆C的半径CP1= =.

  综上,存在满足题设条件的圆,

  其方程为x2+(y-)2=.

  5.(2014·江西)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

  (1)证明:动点D在定直线上;

  (2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:MN-MN为定值,并求此定值.

  (1)证明 依题意可设AB方程为y=kx+2,

  代入x2=4y,

  得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8.

  直线AO的方程为y=x;

  BD的方程为x=x2.

  解得交点D的坐标为

  注意到x1x2=-8及x=4y1,

  则有y===-2.

  因此动点D在定直线y=-2上(x≠0).

  (2)解 依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),

  即x2-4ax-4b=0.

  由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.

  故切线l的方程可写为y=ax-a2.

  分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为

  N1(+a,2),N2(-+a,-2),

  则MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8,

  即MN-MN为定值8.

  6.(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.

  (1)求曲线Γ的方程.

  (2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

  解 方法一 (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,

  依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.

  (2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:

  由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,

  设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=x,

  由y′=x,得切线l的斜率

  k=y′|x=x0=x0,

  所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),

  即y=x0x-x.

  由得A(x0,0).

  由得M(x0+,3).

  又N(0,3),所以圆心C(x0+,3),

  半径r=MN=|x0+|,

  AB=

  = =.

  所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.

  方法二 (1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,

  则|y-(-3)|-=2,

  依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,

  化简,得曲线Γ的方程为x2=4y.

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