2016年高考数学专项练习题（四）

　　题型一　定值、定点问题

　　例1　已知椭圆C：+=1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.

　　(1)求椭圆C的方程;

　　(2)若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值?若是，求出λ+μ的值;否则，请说明理由.

　　破题切入点　(1)待定系数法.

　　(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=λ，=μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值.

　　解　(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，

　　∴a=2，c=1，∴椭圆C的方程为+=1.

　　(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

　　又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

　　y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，

　　设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由

　　消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

　　∴x1+x2=，x1x2=，

　　又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

　　∴λ=，同理μ=，

　　∴λ+μ=+=

　　所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ+μ的值为定值-.

　　题型二　定直线问题

　　例2　在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点.

　　(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的较小值;

　　(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由.

　　破题切入点　假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解.

　　解　方法一　(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

　　可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　直线AB的方程为y=kx+p，

　　与x2=2py联立得

　　消去y得x2-2pkx-2p2=0.

　　由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

　　于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

　　=p|x1-x2|=p

　　=p=2p2，

　　∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

　　AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

　　则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(，).

　　∵O′P=AC==，

　　O′H==|2a-y1-p|，

　　∴PH2=O′P2-O′H2

　　=(y+p2)-(2a-y1-p)2

　　=(a-)y1+a(p-a)，

　　∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　令a-=0，得a=，

　　此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

　　其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线.

　　方法二　(1)前同方法一，再由弦长公式得

　　AB=|x1-x2|

　　=·

　　=·

　　=2p·，

　　又由点到直线的距离公式得d=.

　　从而S△ABN=·d·AB

　　=·2p··

　　=2p2.

　　∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2.

　　(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

　　则以AC为直径的圆的方程为

　　(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

　　将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

　　则Δ=x-4(a-p)(a-y1)

　　=4[(a-)y1+a(p-a)].

　　设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

　　则有PQ=|x3-x4|=

　　=2.

　　令a-=0，得a=，

　　此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

　　其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线.

　　题型三　定圆问题

　　例3　已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点Ak.

　　(1)求椭圆G的方程;

　　(2)求△AkF1F2的面积;

　　(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.

　　破题切入点　(1)根据定义，待定系数法求方程.

　　(2)直接求.

　　(3)关键看长轴两端点.

　　解　(1)设椭圆G的方程为+=1(a>b>0)，半焦距为c，则解得

　　所以b2=a2-c2=36-27=9.

　　所以所求椭圆G的方程为+=1.

　　(2)点Ak的坐标为(-k,2)，

　　S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.

　　(3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外;

　　若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知点(-6,0)在圆Ck外.

　　所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.

　　即不存在圆Ck包围椭圆G.

　　总结提高　(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.

　　(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0);若得到了直线方程的斜截式：y=kx+m，则直线必过定点(0，m).

　　(3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型.

　　1.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.

　　(1)求k的取值范围;

　　(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量+与共线?如果存在，求k值;如果不存在，请说明理由.

　　解　(1)由已知条件，得直线l的方程为y=kx+，

　　代入椭圆方程得+(kx+)2=1.

　　整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①

　　直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，

　　解得k<-或k>.

　　即k的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).

　　(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　则+=(x1+x2，y1+y2)，

　　由方程①，得x1+x2=-.②

　　又y1+y2=k(x1+x2)+2.③

　　而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).

　　所以+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2)，

　　将②③代入上式，解得k=.

　　由(1)知k<-或k>，

　　故不存在符合题意的常数k.

　　2.已知双曲线方程为x2-=1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点?如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由.

　　解　显然x=1不满足条件，设l：y-1=k(x-1).

　　联立y-1=k(x-1)和x2-=1，

　　消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，

　　由Δ>0，得k<，x1+x2=，

　　由M(1,1)为PQ的中点，得==1，

　　解得k=2，这与k<矛盾，

　　所以不存在满足条件的直线l.

　　3.设椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点.

　　(1)求椭圆E的方程;

　　(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥?若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)因为椭圆E：+=1(a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，

　　所以解得

　　所以椭圆E的方程为+=1.

　　(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x2+2(kx+m)2=8，

　　即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，

　　则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.

　　故

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

　　=-+m2

　　=.

　　要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，

　　即+=0，

　　所以3m2-8k2-8=0，

　　所以k2=≥0.

　　又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，

　　即m≥或m≤-，

　　因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，

　　所以圆的半径为r=，

　　r2===，r=，

　　所求的圆为x2+y2=，

　　此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-，

　　而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为(，±)或(-，±)满足⊥，综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.

　　4.(2014·重庆)如图，设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.

　　(1)求该椭圆的标准方程.

　　(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在，求出圆的方程;若不存在，请说明理由.

　　解　(1)设F1(-c,0)，F2(c,0)，其中c2=a2-b2.

　　由=2，得DF1==c，

　　从而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，

　　从而DF1=.

　　由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，

　　因此DF2=.

　　所以2a=DF1+DF2=2，

　　故a=，b2=a2-c2=1.

　　因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1.

　　(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

　　由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1，y1=y2.

　　由(1)知F1(-1,0)，F2(1,0)，

　　所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，

　　再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.

　　由椭圆方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，

　　解得x1=-或x1=0.

　　当x1=0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在.

　　当x1=-时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.

　　设C(0，y0)，

　　由CP1⊥F1P1，得·=-1.

　　而求得y1=，故y0=.

　　圆C的半径CP1= =.

　　综上，存在满足题设条件的圆，

　　其方程为x2+(y-)2=.

　　5.(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).

　　(1)证明：动点D在定直线上;

　　(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y=2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN-MN为定值，并求此定值.

　　(1)证明　依题意可设AB方程为y=kx+2，

　　代入x2=4y，

　　得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2=-8.

　　直线AO的方程为y=x;

　　BD的方程为x=x2.

　　解得交点D的坐标为

　　注意到x1x2=-8及x=4y1，

　　则有y===-2.

　　因此动点D在定直线y=-2上(x≠0).

　　(2)解　依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，

　　即x2-4ax-4b=0.

　　由Δ=0得(4a)2+16b=0，化简整理得b=-a2.

　　故切线l的方程可写为y=ax-a2.

　　分别令y=2，y=-2得N1，N2的坐标为

　　N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，

　　则MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，

　　即MN-MN为定值8.

　　6.(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.

　　(1)求曲线Γ的方程.

　　(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.

　　解　方法一　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

　　依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2=4y.

　　(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：

　　由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2，

　　设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0=x，

　　由y′=x，得切线l的斜率

　　k=y′|x=x0=x0，

　　所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0)，

　　即y=x0x-x.

　　由得A(x0,0).

　　由得M(x0+，3).

　　又N(0,3)，所以圆心C(x0+，3)，

　　半径r=MN=|x0+|，

　　AB=

　　= =.

　　所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变.

　　方法二　(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

　　则|y-(-3)|-=2，

　　依题意，点S(x，y)只能在直线y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，

　　化简，得曲线Γ的方程为x2=4y.