2016年高考数学专项练习题（三）

　　题型一　古典概型问题

　　例1　某班级的某一小组有6位孩子，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位孩子参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

　　(1)选取的2位孩子都是男生;

　　(2)选取的2位孩子一位是男生，另一位是女生.

　　破题切入点　先求出任取2位孩子的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解.

　　解　(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位孩子中任取2位孩子的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.

　　从6位孩子中任取2位孩子，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).

　　所以选取的2位孩子全是男生的概率为P1==.

　　(2)从6位孩子中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种.

　　所以选取的2位孩子一位是男生，另一位是女生的概率为P2=.

　　题型二　几何概型问题

　　例2　(2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的先进次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们先进次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.

　　破题切入点　由几何概型的特点，利用数形结合即可求解.

　　答案

　　解析

　　设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯先进次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示.∴两串彩灯先进次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|≤2)=

　　===.

　　题型三　古典概型与几何概型的综合问题

　　例3　已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R.

　　(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率;

　　(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.

　　破题切入点　本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题.

　　第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解.

　　第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解.

　　解　设事件A为“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根”;事件B为“方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根”.

　　(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中先进个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

　　由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4.

　　事件A要求a，b满足条件a2+b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

　　所以方程有两个不相同实根的概率P(A)==.

　　(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，

　　故所求概率为：

　　P(B)==1-.

　　总结提高　(1)求解古典概型问题的三个步骤

　　①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.

　　②分别基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.

　　③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.

　　(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决决.

　　(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.

　　1.从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________.

　　答案

　　2.已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根，则不等式00，f(1)<0，即建立平面直角坐标系如图.

　　满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P==.

　　3.(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________.

　　答案

　　解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为=.

　　4.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.

　　答案

　　解析　设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1===，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.

　　5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是________.

　　答案

　　解析

　　如图，M，N分别为AB，CD中点，

　　当点P位于阴影部分时，

　　△PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P==.

　　6.已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C(3,4)，若AB≤，则△ABC的面积大于5的概率是________.

　　答案

　　解析　设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，

　　若△ABC的面积小于或等于5，则×DB×4≤5，即DB≤，

　　所以点B的横坐标x∈[-，]，而AB≤，

　　所以点B的横坐标x∈[-3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为

　　P==，

　　所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=.

　　7.(2013·湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=________.

　　答案　3

　　解析　由|x|≤m，得-m≤x≤m.

　　当m≤2时，由题意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去.

　　当2n.

　　如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m=n恰好将矩形平分，

　　∴所求的概率为P=.

　　9.(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______.

　　答案

　　解析　P==.

　　10.平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.

　　答案

　　解析　如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.

　　11.已知向量a=(-2,1)，b=(x，y).

　　(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时先进次、第二次出现的点数，求满足a·b=-1的概率;

　　(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率.

　　解　(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6=36(个);

　　由a·b=-1有-2x+y=-1，

　　所以满足a·b=-1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个;

　　故满足a·b=-1的概率为=.

　　(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6};

　　满足a·b<0的基本事件的结果为

　　A={(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0};

　　画出图形如图，

　　矩形的面积为S矩形=25，

　　阴影部分的面积为S阴影=25-×2×4=21，

　　故满足a·b<0的概率为.

　　12.某同学参加省学业水平诊断，物理、化学、生物成绩获得等级A和获得等级不是A的机会相等，且三个学科成绩获得等级A的事件分别记为W1，W2，W3，获得等级不是A的事件分别记为，，.

　　(1)试列举该同学在这次水平诊断中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3));

　　(2)求该同学参加这次水平诊断获得两个A的概率;

　　(3)试设计一个关于该同学参加这次水平诊断物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由.

　　解　(1)该同学在这次水平诊断中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)，(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，).

　　(2)由(1)，知有两个A的情况为(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，共3种，从而所求概率为P=.

　　(3)方法一　该同学参加这次水平诊断物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%.

　　理由如下：该同学参加这次水平诊断物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下7种情况：(，W2，W3)，(W1，，W3)，(W1，W2，)，(，，W3)，(，W2，)，(W1，，)，(，，，)，

　　故物理、化学、生物成绩不全为A的概率是P1==0.875>85%.

　　方法二　该同学参加这次水平诊断物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.

　　理由如下：该同学参加这次水平诊断物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2=1-=>85%.