支招高考数学考查重点函数问题

　　函数在高中数学教学中占的比重大，是高考考查的重点，每年单纯考函数(这里不包括三角比和三角函数)分值一般在30分左右，还有在其他内容的考查中也涉及到函数思想的运用。

　　近四年高考分析

　　函数教材内容包括三个方面：函数的相关概念和函数运算;函数基本性质;基本初等函数的图像和性质。高考的诊断要求也可分三种类型：某个具体函数或某种函数性质的简单考查;函数性质的综合问题;函数思想及其函数建模应用。(见表一)

　　从近几年试题分析来看，综合考查函数的性质，特别是函数的奇偶性和单调性，强调代数论证能力;除2009年外，反函数每年可能会考，但要求不高;重点考查数形结合和分类讨论思想;函数与方程思想、恒成立问题也是高考对函数的考查要求。

　　复习设想与建议

　　考生在后期函数复习中，要回归课本，掌握教材的基本要求。此外，在平时训练和诊断中，解答与函数有关的问题 ，较好先明确问题中函数的基本要素和考查的内容，分析已知与求解中所涉及的函数性质，然后按照要求进行论证和求解。

　　1. 正确理解函数及其相关概念：

　　(1)定义域、值域的求解(用集合表示，注意函数运算以及实际问题的定义域)。

　　(2)函数的三种表示方法。如列表法

　　例如：已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下(见表二)

　　则函数y=lg f(x)的定义域

　　(3)对分段函数的认识，会用分类讨论的思想研究函数的较值、奇偶性和单调性等性质。

　　(4)函数的和、积运算可以帮助认识一些复杂函数，如研究两个具有奇偶性或单调函数的运算构成的新函数性质研究。

　　例如：研究函数f(x)=■-log2 ■的奇偶性和单调性，可分别对■和-log2■的性质进行研究(注意：函数的定义域(-1,0)U(0,1))。

　　2. 掌握函数的性质和图像特征：对每条性质，较好能完整复述教材中的定义，能从正反两方面给出具体函数性质的判断和证明，能记住有关函数性质相互之间的联系结论(如具有奇偶性的函数在对称区间的单调性)，能从图像的高度认识函数的性质，并熟知常见的函数图像变换。

　　能非常熟悉地写出基本初等函数的所有性质，通过举反例证明函数不具有奇偶性，利用函数的奇偶性做出函数的图像;利用配方法、单调性和基本不等式等方法求函数的较值，特别要掌握二次函数在闭区间的较值问题;关于零点可通过二分法找到根所在区域，用函数图像确定零点个数。解决函数问题时，重在分析问题的条件和结论，看能否用函数有关概念解释并转化求解。

　　3. 会作出一次函数、二次函数和反比例函数以及幂、指对数函数的图像，结合图像理解函数的性质，并在实际问题中会用初等函数的性质解决问题，利用指数函数和对数函数互为反函数的关系。

　　例如：已知函数f(x)=x3+x。

　　(1)试求出函数y=f(x)的零点，并作出图像。

　　(2)是否存在自然数n使得f(n)=1000 ，若存在，求出n;若不存在，请说明理由。

　　4. 指、对数运算(指数式与对数式互化)和指、对数方程的求解。(对数方程的验根问题)

　　5. 研究性问题：

　　近几年高考和调研卷中出现学习型问题，如下列问题：f(x+T)=Tf(x)，f(-x)=af(x)+b，实际上是函数性质的拓展，试题来源分别是函数的周期性和函数的奇偶性，常为压轴题，命题一般从特殊入手，如f(x+T)=Tf(x)，问题1：函数f(x)=x是否满足上述性质?即x+T=Tx对x∈R是否成立?只需取x=0即可否定。考生在处理这类问题时，要与学过的函数性质联系，也可借助图像入手。

　　6. 数学思想：

　　(1)在解决函数问题时，有时需要结合函数的图像(不代替证明);分类讨论时要确定分类标准，遵循不重不漏的原则。

　　(2)函数方程思想可解决下列问题：①方程有解可通过变量分离转化为求函数值域;②方程的根的个数可化归为两个函数的图像的交点个数。

　　(3)恒成立问题：通过变量分离或转化为一元函数，转化为求函数的较值问题。

　　(4)通过取对数实现乘法运算转化为加法运算，化复杂的运算为简单的运算;作图时，要了解指数函数、幂函数和线性函数增长的快慢(如方程x2=2x的解的个数问题)。

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