趣味学习小学数学：魔方动作解密

　　作者：北大校区小学数学老师 刘姝玲　

　　现在中小学较流行的动脑游戏要算是魔方了，现在魔方的玩法也是多种多样，很多孩子想学，那么我们一起来开动脑筋吧

　　魔方有多少种可以达到的状态？答案是 43252003274486000 约 4000 亿亿。

　　算法： 8 个角方块排列在 8 个位置， 12 个棱方块排列在 12 个位置，共有 8！ × 12 ！种。又每个棱方块有 2 个朝向，每个角方块有 3 个朝向， 共 3^8 × 2^12 种。因此魔方的状态数是 8！ × 12 ！× 3^8 × 2^12 = 519024039293878272000 种，51902亿亿以上。

　　但在 20 个方块中， 18 个位置确定，另外 2 个位置也就确定了。因此要去掉因子 2 ！。在 8 个角方块中， 7 个朝向确定，第 8 个朝向也就确定了；在 12 个棱方块中， 11 个朝向确定，第 12 个朝向也就确定了。这样要再去掉 3 × 2 因子，实际是上面数的 1/12 ，即总数 8！ × 12 ！× 3^7 × 2^11/2=43252003274486000 .

　　从另一个角度考虑上面的除数 12 .如果我们确定了 6 种颜色，每种颜色涂在魔方的1 个表面上的9个小方块上。然后然后我们拆开魔方，再打乱了重新拼装起来，那么并不是所得到的每个魔方都能还原为初始状态。具体说，有519024039293878272000 种拼法，可以分为 12 类，每类 43252003274486000 种。同类里任何两个状态可以相互转换，而不同类间不能转换。

　　魔方动作的群论表示举例

　　面对右面(r面)，看到右面一层如下左图，转动Y3后如右图，就可得出各块的变动。

 

 

 

　　类似分析Z3，

 

 

 

　　二者复合为

 

　　其中对角方块，右上角的正号表示此块顺时针转2π/3 ，负号表示反时针转。对棱方块表示有一个方向的翻转。 上面分析说明，经过Y3，Z3两个转动，上右前角块回到原地，但顺时针转了2π/3 ，还有5个角方块做了一个轮换，各反时针转了2π/3 ，或说顺时针转了4π/3 ，7个棱方块做了一个轮换。

　　这样，可以看出，

　　(1) 如果把动作Y3*Z3连续做3次，那么上右前角方块会回到原来位置，且转了6π/3，即没有转动。

　　(2) 如果把动作Y3*Z3连续做5次，那5个角方块都会回到原来位置，但都转了10π/3，或4π/3，即反时针转2π/3 .

　　(3) 如果把动作Y3*Z3连续做7次，那7个棱方块都会回到原来位置，且没有转动。

　　我们用魔方电脑游戏可以轻易的验证这些结论。

　　用这种方法，我们只要给出9个基本动作X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3，Z1，Z2，Z3，就可以求出它们的逆动作X1'，X2'，X3'，Y1'，Y2'，Y3'，Z1'，Z2'，Z3'，在通过求出任何若干次动作的结果。我们已经不需要具体的魔方，只要由就可以表现魔方的转动。

　　反过来，如果知道魔方的状态，能否找到复原的方法？也就是把现在状态分解为基本动作的复合，这是个问题，相当于把一个矩阵分解为某些特定矩阵的积。如果能解决这个问题并很快给出答案，就完全解决了魔方的复原问题。

　　解决魔方的记录

　　利用群论可以给出魔方解法。理论上，解决魔方的步数可能较多只需要22 或23步。实际上，英国一位魔方大师利用群论求出的解法较多只要52 步。100 步以下就是很好的解法。一般人玩，恢复魔方需要数百步。

　　2005 年2 月2 日的世界魔方比赛中，Shotaro Makisnmi(日本)夺得，成绩13.27 秒；Leyan Lo(美国) 和Frank Morris(美国)并列第二名，时间同为15 秒；Chun Hei Wong(中国香港)第四名，18.48 秒。
 

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