高考数学复习：数学思想在计数与概率中应用

    北师大天津附中 潘长虹

    计数与概率问题在近几年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答题的形式出现。在复习过程中，由于知识抽象性强，学习中要注重基础知识和基本方法，不可过深，过难。复习时可从较基本的公式，定理，题型入手，恰当选取典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理定势。

    另外，要加强数学思想方法的训练，这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想，在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、数学建模的思想等。在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题，将问题孤立，片面强调单一知识和题型。

    能力方面主要考查：运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。在高考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决。

    例1. 一次掷两颗骰子，求点数和恰为8这一事件A的概率。

    分析：这实际上是一个等可能事件的概率。掷两个骰子出现的基本结果如下表：

    解：表中基本结果36个，而点数为8的有5个，故：P(A)=-

    评述：本题可归结为掷骰子问题，通过对掷骰子情况的研究得出各种概率数学模型，体现了数学建模的思想：

    (1)、投掷一颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，这是等可能事件的概率，各点出现的概率为1/6。

    (2)、同时投掷两颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，可列一表格或用坐标系表示。

    (3)、同时投掷n颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，可看作n次独立事件的概率。

    例2.同时掷四枚均匀硬币，求：

    (1)恰有两枚正面朝上的概率；

    (2)至少有两枚正面朝上的概率。
   
    分析：因同时抛掷四枚硬币，可认为四次独立重复试验。

    解： (1)问中可看作“4次重复试验中，恰有2次发生”的概率：

    ∴P4(2)=C42(-)2·(1--)2=-=-

    (2)问中，可考虑对立事件“至多有一枚正面朝上”

    故P=1-P4(0)-P4(1)=1-C40(-)0(1--)4-C41(-)1(1--)3=-

    评述：研究各种掷硬币的情况，抽象出其数学本质，再利用概率知识解决，这就是数学建模的过程。这一问题可推广到n枚均匀硬币同时投掷的情况。