点到直线的距离公式

　　点到直线的距离公式！点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段较短，这条垂线段的长度。目标在于通过对点到直线距离公式的推导，提高孩子对数形结合的认识，加深用“”来处理“图形”的意识。下面小编为大家分享点到直线的距离公式!希望能帮到大家！

 

　公式整理

一、总公式：设直线 L 的方程为Ax+By+C=0，点 P 的坐标为(Xo，Yo)，则点 P 到直线 L 的距离为：

考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)d=√((x1-x0)²+(y1-y0)²+(z1-z0)²-s²)二、引申公式：公式①：设直线l1的方程为

;直线l2的方程为

则 2条平行线之间的间距：

公式②：设直线l1的方程为

;直线l2的方程为

则 2条直线的夹角

 

知识与技能目标：

(1)理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离;

(2)了解两条平行直线的距离公式，并能推导

 

过程与方法目标：(1)

通过对点到直线距离公式的推导，提高孩子对数形结合的认识，加深用“”来处理“图形”的意识;(2)把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。

 

证明方法

 

定义法证：根据定义，点P(x₀,y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得

PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2=[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2=[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2=A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2=(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。

二、函数法证：点P到直线 上任意一点的距离的较小值就是点P到直线的距离。在上取任意点 用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以较小值就是

三、不等式法证：点P到直线 上任意一点Q的距离的较小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：当且仅当时取等号所以较小值就是

四、转化法证：设直线 的倾斜角为 过点P作PM∥ 轴交于M显然所以易得∠MPQ= (图2)或∠MPQ=(图3)在两种情况下都有所以

五、三角形法证：P作PM∥ 轴交于M，过点P作PN∥ 轴交于N(图4)由解法三知;同理得在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高

六、参数方程法证：过点作直线 交直线于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知，将 代入 得整理后得当时，我们讨论 与 的倾斜角的关系：当为锐角时 ()有(图2)当为钝角时 ()有(图3)得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得

七、向量法证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：

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