立方和公式

　　立方和公式！立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式。该公式的文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。下面小编为大家分享立方和公式!希望能帮到大家！

 

 

立方和公式

 

推导过程：

立方和：a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)

完全立方公式(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

 

分解步骤如下(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b + 3ab2+ b3

解题时常用它的变形：(a+b)3= a3+ b3+ 3ab(a+b)　和　a3+ b3= (a+b)3- 3ab(a+b)(a-b)³=(a-b)(a-b)(a-b)=(a²-2ab+b²)(a-b)=a³-3a²b+3ab²-b³立方和累加正整数范围中

注：可用数学归纳法证明

 

公式证明

迭代法一我们知道：0次方和的求和公式

，即

1次方和的求和公式

，即

2次方和的求和公式

，即

——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式

，迭代即得 [1] 。具体如下：(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1利用上面这个式子有：23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 133 - 23 = 3×22 + 3×2 + 143 - 33 = 3×32 + 3×3 + 153 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1……(n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1把上述各等式左右分别相加 得到：(n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)其中12 + 22 + 32 + …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33 + …… + n3=[n(n+1)/2]2

 

迭代法二取公式：

系数可由杨辉三角形来确定那么就得出：

…………⑴

…………⑵

…………⑶…………

…………(n).于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有左边=

右边=

把以上这已经证得的三个公式代入，

得

移项后得

等号右侧合并同类项后得

即

推导完毕。

 

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