平方和公式

　　平方和公式！平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和(Sum of squares)，可用来求很多关于平方数的数学题，其和又可称之为四角锥数，或金字塔数(square pyramidal number)也就是正方形数的级数。下面小编为大家分享平方和公式!希望能帮到大家！

 

 

平方和公式

 

利用此公式可求得前几项和为：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385,

506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870,

3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455,

10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,

23821, 25585, 27434, 29370…… [3]

证明方法

证法一　(归纳猜想法)：1、 时，

2、 时，

3、设 时，公式成立，即

则当时，

也满足公式。根据数学归纳法，对一切自然数n有

成立。

证法二 (利用恒等式）

)：

，…………

.求和得：

,由于

(可由倒序求和得到),代入上式得：

整理后得：

证法三( ) ：

令 =

=

因为

所以，

证法四　(排列组合法)：

由于

，因此我们有

 

=

由于 ，

，于是我们有

证法五

 (拆分，直接推导法)：1=12²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+7...(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]n²=1+3+5+7+...+[2n-1]求和得：

……(*)因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²

代入(*)式，得：

此式即

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