高一数学指导：函数的单调性和奇偶性

　　知识要点：

　　复习训练：1．已知f (x)=x5 ax3 bx-8，且f (-2)=10，则f (2)等于            。

　　2．若f (x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f (x)=x(1-x)，求函数f (x)的解析式。

　　题型探究：

　　（一）   函数的单调性和奇偶性与较值相结合：

　　例1．设函数f (x)= 。

　　⑴证明：f (x)是偶函数；

　　⑵指出函数f (x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x)是增函数还是减函数；

　　⑶求函数f (x)的值域。

　　（二）函数的单调性和奇偶性与不等式相结合：

　　例2．函数f (x) = 是定义在（-1，1）上的奇函数，且f ()=

　　⑴确定函数f (x)的解析式；

　　⑵用定义证明：f (x)在（-1，1）上是增函数；

　　⑶解不等式f (t-1) f (t)<0。

　　（三）函数的单调性和奇偶性与抽象函数相结合：

　　例3．已知函数f (x)在（-1，1）上有定义，当且仅当0<x<1时，f (x)<0，且对任意x,y（-1，1）都有 。试证明：

　　⑴f (x)为奇函数；

　　⑵在f (x)（-1，1）上单调递减。

　　（四）开放探究题；

　　例4．已知y=f (x)是奇函数，它在（0， ∞）上是增函数，且f (x)<0，试问F (x)= 在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论。

　　课堂训练：

　　1．已知函数f (x) 是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：

　　⑴f (0) = 0；

　　⑵若 f (x) 在 [0, 上有较小值 -1，则 f (x) 在上有较大值1；

　　⑶若 f (x) 在 [1, 上为增函数，则 f (x) 在上为减函数；

　　⑷若 x > 0时，f (x) = x2 - 2x ,  则 x < 0 时，f (x) = - x2 - 2x 。

　　其中正确的序号是：                       。

　　2．已知f (x) = 是奇函数，且f (2) = 。.

　　⑴ 求实数p、q的值；

　　⑵ 判断函数f (x)在(-∞，1)上的单调性并证明.

　　3．已知定义在(-1，1)上的奇函数，f (x)是减函数且f (1-a) f (1-a2)<0，求实数a的取值范围。

　　4．已知函数 f (x),  当 x , y?R时，恒有f (x y) = f (x) f (y) ,

　　⑴求证： f (x) 是奇函数；

　　⑵若 f (-3) = a，试用 a 表示 f (24) ；

　　⑶如果 x > 0 时，f (x) < 0 且 f (1) < -2，试讨论f (x)的单调性，并求 f (x) 在区间[-2，6]上的较大值与较小值。

　　5．设函数y= f (x)是定义在（0， ∞）上的减函数，并且满足f (xy) =f (x) f (y) ， f ( )=1。

　　⑴求f (1)的值；

　　⑵若存在实数m，使得f (m ) =2，求m的值；

　　⑶如果f (x) f (2-x)<2，求x的取值范围。

　　6．若函数f (x)= 当a为何值时，f (x)是奇函数？