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北京中功课二次方程！同学们想要学好初中数学，概念和公式必须牢牢掌握。什么是一元二次方程呢？只含有一个未知数（一元），并且未知数项的较高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）。下面，小编为大家带来北京中功课二次方程，希望可以给大家带来帮助哟~
考点一：一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)
例1 (2012•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0
思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的较高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
解：A、原方程为分式方程;故本选项错误;
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;
C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求;故本选项正确;
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.
故选C.
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的较高次数是2.
对应训练
1.(2012•惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= .
1.1
解：∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2-1=0，
∴a=1.
故答案为1.
点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的较高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义.
考点二：一元二次方程的解法
例2 (2012•安徽)解方程：x2-2x=2x+1.
思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，较后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解.
解：∵x2-2x=2x+1，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
(x-2)2=5，
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)选择用配方法解一元二次方程时，较好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
例3 (2012•黔西南州)三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为( )
A.7 B.3 C.7或3 D.无法确定
思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长.
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：(x-3)(x-7)=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3<6，不能构成三角形，舍去;
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7.
故选A
点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解.
对应训练
2.(2012•台湾)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a>b，则2a-b之值为何?( )
A.-57 B.63 C.179 D.181
2.D
2.解：x2-2x-3599=0，
移项得：x2-2x=3599，
x2-2x+1=3599+1，
即(x-1)2=3600，
x-1=60，x-1=-60，
解得：x=61，x=-59，
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a>b，
∴a=61，b=-59，
∴2a-b=2×61-(-59)=181，
故选D.
3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是( )
A.2 B.-2，1 C.-1 D.2，-1
3.D
考点三：根的判别式的运用
例3 (2012•襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A.k< B.k<且k≠0 C.-≤k< D.-≤k<且k≠0
思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△>0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围.
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k>0，
∴-≤k<且k≠0.
故选D.
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2-4ac.一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
例4 (2012•绵阳)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
思路分析：(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行.
解：(1)证明：∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m-2)2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根;
(2)根据题意，得
12-1×(m+2)+(2m-1)=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：3;
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：;
该直角三角形的周长为1+3+=4+;
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.
点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义.解答(2)时，采用了“分类讨论”的数学思想.
对应训练
3.(2012•桂林)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1
3.A.
4.(2012•珠海)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时，判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时，求方程的根.
4.解：(1)∵当m=3时，
△=b2-4ac=22-4×3=-8<0，
∴原方程无实数根;
(2)当m=-3时，
原方程变为x2+2x-3=0，
∵(x-1)(x+3)=0，
∴x-1=0，x+3=0，
∴x1=1，x2=-3.
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考点四：一元二次方程的应用
例5 (2012•南京)某汽车公司6月份某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据量一次性返利给公司，量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元;量在10部以上，每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元;
(2)如果汽车的价格为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车?(盈利=利润+返利)
思路分析：(1)根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1×2，即可得出答案;
(2)利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的利润，根据当0≤x≤10，以及当x>10时，分别讨论得出即可.
解：(1)∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8，
故答案为：26.8;
(2)设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的利润为：
28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(万元)，
当0≤x≤10，
根据题意，得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12，
整理，得x2+14x-120=0，
解这个方程，得x1=-20(不合题意，舍去)，x2=6，
当x>10时，
根据题意，得x•(0.1x+0.9)+x=12，
整理，得x2+19x-120=0，
解这个方程，得x1=-24(不合题意，舍去)，x2=5，
因为5<10，所以x2=5舍去，
答：需要售出6部汽车.
点评：本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键.
对应训练
5.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折;
方案二：不打折，每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.
5.解 (1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意，得5(1-x)2=3.2.
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠.
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)，
方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000(元).
∵14400<15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
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