北京初中数学复习资料

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　　专题一 数与式

　　考点1.1、实数的概念及分类

　　1、 实数的分类

　　有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数.如：-3，，0.231，0.737373...，，.

　　无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，-，0.1010010001...(两个1之间依次多1个0).

　　实数：有理数和无理数统称为实数.

　　2、无理数

　　在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数;二是不循环.二者缺一不可.归纳起来有四类：

　　(1)开方开不尽的数，如等;

　　(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;

　　(3)有特定结构的数，如0.1010010001...等;

　　(4)某些三角函数，如sin60o等

　　注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断.要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准.

　　3、非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)

　　常见的非负数有：

　　性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

　　4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴("三要素")

　　②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

　　③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

　　作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现少有值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

　　5、相反数

　　实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。即：(1)实数的相反数是.(2)和互为相反数.

　　6、少有值

　　一个数的少有值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的少有值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，少有值大的反而小。

　　(1)一个正实数的少有值是它本身;一个负实数的少有值是它的相反数;0的少有值是0.即：﹝另有两种写法﹞

　　(2)实数的少有值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的少有值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.

　　☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若，则，，.

　　注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的少有值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

　　7、倒数

　　如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

　　即(1)实数(≠0)的倒数是.

　　(2)和互为倒数。

　　(3)注意0没有倒数.

　　8、有效数字

　　一个近似数四舍五入到哪一位，就说它准确到哪一位，这时，从左边先进个不是零的数字起到右边准确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

　　9、科学记数法

　　把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

　　(1)确定：是只有一位整数数位的数.

　　(2)确定n：当原数≥1时，等于原数的整数位数减1;;当原数<1时，是负整数，它的少有值等于原数中左起先进个非零数字前零的个数(含整数位上的零)。

　　例如：-40700=-4.07×105，0.000043=4.3×10ˉ5.

　　(3).近似值的准确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数准确到哪一位

　　(4)按准确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来.

　　10、实数大小的比较

　　知识1、数轴

　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　知识2、实数大小比较的几种常用方法

　　(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　(2)求差比较：设a、b是实数，

　　(3)求商比较法：设a、b是两正实数，

　　(4)少有值比较法：设a、b是两负实数，则。

　　(5)平方法：设a、b是两负实数，则。

　　11、实数的运算 (做题的基础，分值相当大)

　　1、加法交换律

　　2、加法结合律

　　3、乘法交换律

　　4、乘法结合律

　　5、乘法对加法的分配律

　　6、实数的运算顺序

　　1. 先算乘方开方，再算乘除，较后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

　　2. (同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

　　12、有理数的运算：

　　加法：①同号相加，取相同的符号，把少有值相加。②异号相加，少有值相等时和为0;少有值不等时，取少有值较大的数的符号，并用较大的少有值减去较小的少有值。③一个数与0相加不变。

　　减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

　　乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，少有值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

　　除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

　　乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

　　考点1.2、实数与二次根式

　　1、平方根

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。

　　一个正数有两个平方根，他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

　　正数a的平方根记做""。

　　2、算术平方根

　　正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作""。

　　正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

　　(0)

　　;注意的双重非负性：

　　-(<0) 0

　　注意：算术平方根与少有值

　　① 联系：都是非负数，=│a│

　　②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

 

　　3、算术平方根的估算方法：两端逼近法.

　　例如：估算.(准确到0.1)∵∴.又∵，

　　又∵6更靠近5.76，∴　　4、立方根

　　如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。

　　一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。

　　注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

　　二次根式

　　5、二次根式

　　式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号"";被开方数a必须是非负数。