三角形的重心练习题

　　三角形的重心练题目！三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。下面就是小编为大家整理的三角形的重心练题目，供同学们参考使用。希望可以帮助到大家。

 

 

三角形的重心练题目

 

　　1、G为三角形重心，AG=3,BG=4,CG=5,求三角形面积。

　　注意重心定义：3边中线交点为重心

　　延长BG交AC于E，故AE=CE

　　过C作CD//AG,CD交BG的延长线于D

　　则三角形AGE和三角形CDE中

　　角AEG=角CED,AE=CE,角EAG=角ECD

　　所以两个三角形全等，于是CD=AG=3，

　　连接AD,延长AG交BC于F,F为BC中点，且FG//CD(因为AG//CD)

　　三角形BCD中，于是G为BD中点，DG=BG=4,

　　三角形CGD三边分别长3，4，5,所以三角形CGD面积为6，

　　注意到三角形AGE面积=三角形AGE面积+三角形CGE面积=三角形CED面积+三角形CGE面积=三角形CDG面积=6

　　类似可以得到三角形AGB面积=6，三角形BCG面积=6

　　所以三角形ABC面积为18

　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

　　证明方法：

　　在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：

　　OA'=1/3AA'

　　OB'=1/3BB'

　　OC'=1/3CC'

　　过O，A分别作a边上高OH'，AH

　　可知OH'=1/3AH

　　则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

　　同理可证S△AOC=1/3S△ABC

　　S△AOB=1/3S△ABC

　　所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

　　3、重心到三角形3个顶点距离平方的和较小。 (等边三角形)

　　证法一：

　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x0，y0) 则该点到三顶点距离平方和为：

　　(x1-x0)2+(y1-y0)2+(x2-x0)2+(y2-y0)2+(x3-x0)2+(y3-y0)2

　　=3x02-2x0(x1+x2+x3)+3y02-20y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

　　=3[x0-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y0-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时

　　上式取得较小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

　　较终得出结论。

　　证法二：由性质8(卡诺重心定理)可得出结论。

　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

　　即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];

　　空间直角坐标系——X坐标：(X1+X2+X3)/3，Y坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，Z坐标：(Z1+Z2+Z3)/3.

　　5、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

　　6、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

 

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