一元二次方程求根公式

　　一元二次方程求根公式！一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值.也叫一元二次方程的解.当然一元二次方程只要有解都有两个根。另外,只有一元方程的解才能叫这个方程的根。下面小编为大家分享一元二次方程求根公式!希望能帮到大家！

 

　　一元二次方程求根公式

 

 

公式描述：一元二次方程形式:ax2+bx+c=0(a≠0，且a，b，c是常数)。

满足条件

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母;且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。

②只含有一个未知数;③未知数项的较高次数是2。

方程形式

一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a是二次项系数;bx是一次项;b是一次项系数;c是常数项。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 [2]

变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);ax²=0(a是实数，a≠0)。

配方式

 

两根式

 

求解方法

      直接开平方法形如x²=p 或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成x²=p的形式，那么可得 。如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式，那么 ，进而得出方程的根。

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

 

            ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

           ③方法是根据平方根的意义开平方。 [3]

配方法

      将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式;②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：用配方法解方程

解：将常数项移到方程右边

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

直接开平方得：

∴,                  

.∴原方程的解为,                . [4]

 

求根公式法

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:

①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值(注意符号);

②求出判别式的值，判断根的情况;

③在

(注：此处△读“德尔塔”)的前提下，把a、b、c的值代入公式

进行，求出方程的根。推导过程1一元二次方程的求根公式导出过程如下：

(为了配方，两边各加)

(化简得)。一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式:

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。推导过程2一元二次方程的求根公式导出过程如下：

a的取值范围任意，c取值范围任意，。从abc 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。运用韦达定律验证：

 

因式分解法因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零;②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积;③令每个因式分别为零④括号中x，它们的解就都是原方程的解.

例：

或者

∴，    . [5]

 

图像解法

一元二次方程

的根的几何意义是二次函数

的图像(为一条抛物线)与x轴交点的X坐标。

当

时，则该函数与x轴相交(有两个交点);

 

图解法(3张)

当时，则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点);

当时则该函数与x轴相离(没有交点)。

另外一种解法是把一元二次方程

化为：

的形式。则方程的根，就是函数

和

交点的X坐标。通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

 

机法

在使用机解一元二次方程时，和人手工类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

可以进行符号运算的程序，比如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解(但亦有部分显示平方根及虚数)。

 

方程解

含义(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。(2)由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数)，根的情况由判别式()决定。

 

判别式利用一元二次方程根的判别式()可以判断方程的根的情况。一元二次方程

的根与根的判别式 有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的实数根;

②当时，方程有两个相等的实数根;

③当时，方程无实数根，但有2个共轭复根。上述结论反过来也成立。

 

韦达定理

设一元二次方程

中，两根x₁、x₂有如下关系：

数学推导由一元二次方程求根公式知

则有：

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